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1、地中海鲨鱼问题（总9页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-摘要捕食者食饵模型是数学生态研究的重要内容，影响种群的波动的因素 有很多，之神阻滞作用就是其中重要的一种因素。捕食者和食饵这两个物种之 间既相互制约又相互依存。首先，本题要求研究两种模型，并将这两种模型作对比，即是“不考虑人 工捕获的情况下鲨鱼和食饵比例的变化”和“考虑人工捕获的情况下鲨鱼与食 饵的比例的变化”。以此来说明：战争中的鲨鱼的比例比战争前要高！建立两 种非线性规划模型，利用 matlab 软件将其求出数值结果，并画出图形求证结 果，结果表明：战争中的鲨鱼的比例比战争前要高！其次，
2、由意大利著名生物学家（volterra）建立系列数学模型。食用鱼一 多，鲨鱼易得食，鲨鱼量亦增，而由于鲨鱼数目增多吃掉大量的食用鱼，鲨鱼 又进入饥饿状态而使其总数下降，这时食用鱼相对安全些，于是食用鱼总数回 升，就这样，食用鱼鲨鱼数量交替着增减，无休止的循环，遂形成生态的动态 平衡。最后，分析该模型的合理性，对模型进行改进，使之能成为类似问题的参 考。关键词：偏微分方程，matlab，数学建模，动态平衡，非线性规划问题重述意大利生物学家 Ancona 曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一 次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨 鱼等的比例有明显增加（见下
3、表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降. 显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例 大幅增加呢年代19141915191619171918百分比年代19191920192119221923百分比他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家，希望建立一个食 饵捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.为了解释这一问题，通过建立一个食饵捕食系统的数学模型，定量地回 答这个问题.，给出一个合理又具有说服力和可实际操作的的答案或方案！以供 现实生产，捕捞的指导与借鉴！二、模型假设1. 食饵由于不是者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正 比；2. 捕食者由
4、于食饵为它提供食物作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的 程度与食饵数量成正比；三、符号说明x (t)1食饵在t时刻的数量x (t)2捕食者在t时刻的数量r1食饵独立生存时的增长率r2捕食者独自存在时的死亡率1捕食者掠取食饵的能力九2食饵对捕食者的供养能力e捕获能力系数四、问题分析第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料 中，发现鲨鱼等的比例有明显增加，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降. 显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加。战争结束后，因为 渔民开始打渔，所以鱼类的黄金生长期开始受到威胁。虽然鱼类的繁殖和生长 符合达尔文的自然选择学说，而且它不会肆
5、意的疯长，但总会有天敌和种群内 面的竞争而被淘汰一部分，而实现优胜略汰的目的，实现种群的优质成长和发 展。战争使得捕鱼量下降，所以食饵与鲨鱼数量产生了变化，因此，我们进行 数据分析与整理，对鲨鱼比例的明显变化现象给出合理的问题分析以及合理的 问题解释。五、模型的建立与求解模型(一) 不考虑人工捕获 该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型. dxi = x (r -Xx )dt12Vdx2 = x (-r +X x )、dt 222 i设食饵者和捕食者的初始数量分别为：x (0) = x , x
6、(0) = x ,1 10 2 20对于数据 r = 1, X = 0.1, r = 0.5, X = 0.02, x = 25, x = 2,1 1 2 2 10 20t的终值经试验后确定为15。针对一组具体的数据用matlab软件进行计算，使用matlab函数库中专门用 于求解微分方程的功能函数一一ode45,做出数值计算，求解方程。并画出食饵和捕食者随时间变化的关系图。图像如下：x (t)与x (t)的曲线12相轨线x(t的图形tnuomaforotaderpeh两个关系图的简要说明： 对于图形“x (t)与x (t)的曲线”的解释：12对于食饵增多，则鲨鱼易于取食，所以鲨鱼数量增加；然
7、而，由于鲨鱼数 量的增多而需要食用更多的食饵，可是食饵的数量正在下降，则鲨鱼进入了饥 饿的状态而使得鲨鱼的数量急剧下降，这时部分食饵得以存活，所以食饵数量 回升；随着捕食者和被捕食者的关系，食饵与鲨鱼的数量交替增减，它们的数 量进入无休止的循环，成为了生物圈中的动态平衡。模型(二) 考虑人工捕获dx1dtdx=x (r -e)-X x1 1 1 2设表示捕获能力的系数为e,相当于食饵的自然增长率由q降为r1-e，捕食 者的死亡率由r2增为r2+e=x -(r + e) + X x 2 2 2 1仍取 r = 1, X = 0.1, r = 0.5, X = 0.02, x = 25, x =
8、2,1 1 2 2 10 20设战前捕获能力系数e=，战争中降为e=，则战前与战争中的模型分别为:dxL = x (0.7 - 0.1x )dt 12 空=x (-0.8 + 0.02x ) dt 21x (0) = 25, x (0) = 212鱼=x (0.9 - 0.1x )dt 12 _2 = x (-0.6 + 0.02x )dt 21x (0) = 25, x (0) = 212针对一组具体的数据用matlab软件进行计算，使用matlab函数库中专门用 于求解微分方程的功能函数一一ode45,做出数值计算，求解方程。并画出战争中的鲨鱼与战争前的鲨鱼比例变化的图像。图像如下：0.1
9、00510时 间 (t)人工捕获对鲨鱼比例的影响765432000000例比的鱼鲨15对图像的简要分析:观察上图可以明显得出，战争中的鲨鱼的曲线位于战争前鲨鱼曲线之上，即 得出结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！六、模型评价1. 模型考虑的因素合理。本文模型针对战争前、战争期间鲨鱼（捕食者）与食 用鱼（食饵）在自然条件和存在人工捕获条件两方面因素而建立的。2. 模型约束的合理性。本文参考了不少文献，对鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食 饵）之间的关系以及鲨鱼（捕食者）自身在战争前、战争期间的关系作全面 而准确的探讨，给出了一系列合理的约束。3. 由于在收集数据方面所掌握的信息很不全，因此，模型的求解难免会
10、有误差。4. 对于所掌握的数据，在满足约束的条件下，采用matlab软件进行处理，对鲨鱼 与食饵之间的关系以及鲨鱼自身在战争前、战争期间的关系进行预测。5. 建立模型时，并没有考虑到所有影响鲨鱼与食饵之间的关系以及鲨鱼自身在 战争前、战争期间的关系的因素，例如天气因素等等。6. 由此模型我们可以知道两个相互竞争种群之间的矛盾与联系，了解他们的关 系有利于人类进行打捞计划。七、参考文献1 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第3版），高等教育出版社。2 李大潜、姜启源、唐云、叶其孝，中国大学生数学建模竞赛（第2 版），高 等教育出版社。3 杨俊，数学建模简明教程，安徽大学出版社。4 谢金星，优化建模
11、与 LINGO 软件（第2 版），清华大学出版社。5 解可新，最优化方法，天津大学出版社，。6 曹振华，随机数学基础，高等教育出版社，北京， 2009。7 谢金星，优化建模与 Lingo/Lindo 软件，北京，清华大学出版社。附录模型一：%matlab m-文件function dx= shayu_1( t,x ) a=1;b=;c=;d=;dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(a-b*x(2);%a is rate of increase-b is hun ting ability.dx(2)=x(2)*(-c+d*x(1);%c is mortality,d is supp
12、ort.End%matlab 脚本文件clc;clear allts=0:15;x0=25,2;t,x=ode45(s hayu_1,ts,x0); figure(1),plot(t,x(:,1),t,x(:,2),*);xlabel(time);ylabel(amount);hold ongrid onfigure(2),plot(x(:,1),x(:,2),r-);xlabel(the food of amount);ylabel(the predator of amount); grid on模型二：%matlab m-文件 sharkl function dx=shark1( t,x
13、) dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)* m-文件 shark2 function dx=shark2( t,x ) dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)* 脚本文件 clc;clear allts=0: 15;x0=25 2; t,x=ode45(shark1,ts,x0);plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2),r-)title(人工捕获对鲨鱼比例的影响); xlabel(时间(t);ylabel(鲨鱼的比例); grid on hold on t,x=ode45( shark2,ts,x0);plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2) legend(prewar,combat);
