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1、求数列通项公式方法大全一、累加法适用于：a = a + f(n)这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。n+1n例1已知数列a 满足a = a + 2n +1，a = 1，求数列a 的通项公式。nn+1 n1n解：由 a = a + 2n +1 得 a a = 2n +1 则 n+1nn+1 na = (a a ) + (a a ) + (a a ) + (a a ) + annn1n1n232211=2( n 1) +1 + 2( n 2) +1 + (2 x 2 +1) + (2 x 1 +1) +1=2(n 1) + (n 2) + 2 +1 + (n 1) +1=2( ；1)
2、n + (n 1) +1.=(n 1)(n +1) +1所以a = n 2 On例2已知数列a 满足a = a + 2x 3n +1, a = 3，求数列a 的通项公式。nn+1 n1n解法一：由 a = a + 2 x 3n +1 得 an+1nn+1+ (a a ) + (a a ) + a32211+ (2 x 32 +1) + (2 x 31 +1) + 3=2(3n-1 + 3n - 2 + 32 + 3Q + ( n 1) + 3 =23(1 3T)+ (n 1) + 31 3=3n 3 + n 1 + 3a = (a a ) + (a a ) +nnn 1n1n2=(2 x 3n
3、-1 +1) + (2 x 3n -2 +1) +所以 a = 3n + n 1.n=3n + n 1a a 21解法二:a = 3a + 2 x 3n +1 两边除以 3n+1，得一n+1 = n +n+1n3n+13n33n+1aa21则亍* n =+ ，故3n+13n33n+1,213+ ( + ) +3 .323+ 丄)+132练习1.已知数列I的首项为a =n+1na + 2n(n G *)写出数列a a aaaan = ( n )+ ( n - 2 ) +( n - 23n 3n aa3n - 23n - 2n1n1=(2 + ) + (2 + 丄)+ (2 + 丄)+3 3n33
4、n-13 3n - 22( n 1)111+ ( + + + +33n 3n 3n-13n - 222 x 3n3 + 3(1-3-。+1 =迈 +1 -丄，则 a = 2 x n x 3” +1 x 3” -1. n 3答案：n 2 n +1练习2.已知数列3满足1=a +n-1n( n 1)(n 2),求此数列的通项公式.a答案：裂项求和n评注：已知a1 =aan+1=f (n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求
5、和;若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。例3.已知数列叮中，an 0S =丄(a +) n 2,求数列3的通项公式.S =丄(a + ) 解:由已知2 n ann + -n n-1 SnS)n-1*2n( n +1)2化简有逬-=n，由类型有汽=S 2+2+3+2 又 a 0 $ n,又 n,S1 S 2 = n(n + 1)又1= a1得a1 = 1,所以、.：2n(n +1) n 1)此题也可以用数学归纳法来求解二、累乘法适用于：an+1二 f (n)an这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。例4已知数列a 满足a二2(n + 1)5n x a，a二3，求数列a 的通
6、项公式。nn+1n 1na_解：因为a= 2(n + 1)5n xa， a = 3，所以 a 丰 0，则一+1 = 2(n + 1)5n，故1nann+1an 1 an2a2 a a 11aa nn an 1=2( n 1 +1)5”-12( n 2 +1)5”-2 2(2 + 1)x 522(1+1)x 51 x 3=2n-1n(n 1) 3 x 2 x 5(n1)+(n2) + + 2+1 X 3n ( n1)=3 x 2n1 x 5 2 x n!n (n1)所以数列a 的通项公式为a二3x 2-1 x5 2 x n!.nn例5设L (n + 1)a 2 一 na 2 + a an是首项为
7、1的正项数列，且n+1nn+1=0( n =1，2，3,),则它的通项公式是an解：已知等式可化为:(a+ a )kn + 1)a一nn+1na L 0n+1n a 0 n 匚 N *-n (n e N ) (n+1)an+1一 nanan+1即jna n1an12 aaa 1 nn21=.丄 1 12= n评注：本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出a练习已知n+1 = nan + n 一 h a1 1,求数列an的通项公式.答案：3 = (n 一 1)Ka1 + 1)-1.评注：本题解题的关键是把原来的递
8、推关系式an+1二nan + - 1转化为an+1 + 1 一 n(an + D，若令bn 一 n + j则问题进一步转化为”+1 一 n形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于a = qa + f(n)n+1n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。a1.形如n+1来求.(1)若 c=1 时,(2)若 d=0 时,(3)若c丰回数列 an 为等差数列;数列an为等比数列;丰0时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列待定系数法：设an+1 + +九得 an+1 = can + (c 1)X，与题
9、设 an+1 =+ d比较系数得(c - = d，所以“名，(c c 0)所以有:d /d、a += c(a+)n c 1n-1c 1因此数列d a + 构成以1c -1为首项，以c为公比的等比数列,- can + d ,(c 丰 0,其中 a1 = a)型d / d、/ d 、da += (a +) - cn-1a = (a +) - cn-1 -所以 n c 11 c 1即：n 1 c 1c 1d / d 、一 + d a += c(a +)d/ d 、=+ cn-1 (a +)1 c1 c 1规律:将递推关系an+1 = can + 化为+1 1 n 1 ,构造成公比为C的等比数列a +
10、an c 一1从而求得通项公式n+1逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系an+1二Can + d中把n换成n-1有an二”-1 +,两式相减有an+1 - an二Bn - n-P从而化为公比为C的等比数列n+1 _ n ，进而求得通项公式.an+1 - an二Cn (a2 - a1),再利用类型(1)即可求得通项公式我们看到此方法比较复杂.例6已知数列a 中，a二1,a二2a + 1(n 2)，求数列a 的通项公式。n1nn-1n解法一：a = 2a + 1(n 2), /. a +1 = 2(a +1)nn-1nn-1又叮1 = 2,也+是首项为2,公比为2的等比数列a +1 = 2n，
11、即a = 2n -1nn解法二：a = 2a+ 1(n 2),/. a= 2a +1nn-1n+1n两式相减得a - an+1n比数列，再用累加法的二 2(a 一 a )(n 2)，故数列a- ann-1n+1:是首项为2,公比为2的等n练习.已知数列3 中,a = 2, a = - a1n+12 n1+ 2求通项anoa =(丄)“-1 +1答案：2a 二 p a + qnn+1n2.形如：an+1二pan + qn(其中q是常数，且n丰0,1)若p=1时，即：an+广an + qn，累加即可若P丰1时，即:求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以pn+1.目的是把所求数列构造成等差数列即:
12、aan+1= npn+1qn二一- + () n bP q，令a=nn pnb - b 二n+1n p，则p(匕)nq ，然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以qn+1.目的是把所求数列构造成等差数列。即:g 二 pqn+1qa1,n + bqnq冷，么b二bn qn侧可化为曲q n1+ q .然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设an+1m二P(an + Pn ) 通过比较系数，求出九，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求p丰q,否则待定系数法会失效。例7已知数列满足n+1二+ “ 1二1，求数列呵勺通项公式。解法一(待定系数法)：设n+1 +X13n 2(an + E )，比较系数得兀1 一4导,- 4 3nt a 4 31-1 = -5则数列n是首项为* 4 35，公比为2的等比数列，a 4 - 3n1 = 5 - 2n1a 4 - 3n1 5 - 2 n1所以n，即na 2 a 4 n+1 n +-解法二(两边同除以qn+1):两边同时除以3n+1得：3n+1 3 3n 32，下面解法略a a 4
