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1、高考数学精品复习资料 2019.53.3导数的应用(二)考情分析高考中，重点考查利用导数研究函数最值以解决生活中的优化问题，有时还会在解析几何、不等式、平面向量等知识交汇处命题，多以解答题的形式出现，属中、高档题目.基础知识1.函数的导数与最值(1)函数在区间a,b上有最值的条件：一般地，如果在区间a,b上，函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2) 求函数在区间a,b上最大值与最小值的步骤：求函数在区间（a,b）内的极值；将函数的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2.生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最
2、省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答注意事项1.(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较2.(1)求函数
3、最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件题型一函数的极值与导数【例1】已知偶函数在R上的任一取值都有导数,来源:且,则曲线在处的切线的斜率（）A2B-2C1D-1【答案】D 【 解析】由得可知函数的周期为4,又函数为偶函数,所以,即函数的对称轴为,所,所以函数在处的切线的
4、斜率,选D 题型二函数的最值与导数【例2】已知函数在点处的切线方程为,且对任意的,恒成立.()求函数的解析式;()求实数的最小值;解:()将代入直线方程得, , 联立,解得 (),在上恒成立; 即在恒成立; 设, 只需证对于任意的有 来源:数理化网设, 1)当,即时, 在单调递增, 2)当,即时,设是方程的两根且 由,可知, 分析题意可知当时对任意有; , 综上分析,实数的最小值为 【变式2】 函数f(x)x3ax2b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求a，b；(2)求函数f(x)在0，t(t0)内的最大值和最小值解(1)f(x)3x22ax由已知条件即解得(2)由(1)知
5、f(x)x33x22，f(x)3x26x3x(x2)，f(x)与f(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)22由f(x)f(0)解得x0，或x3因此根据f(x)的图象当0t2时，f(x)的最大值为f(0)2最小值为f(t)t33t22；当23时，f(x)的最大值为f(t)t33t22，最小值为f(2)2.题型三用导数解决生活中的优化问题【例3】请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，
6、是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.来源:(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边
7、长的比值为.【变式3】 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其耗油量为来源:f(x) (0x120)f(40)17.5(升)因此从甲地到乙地要耗油17.5升(2)f(x) 又0x120，令f(x)0解得x80，当0x80时，f(x)0；当800.则当x80时，f(x)取到最小值f(80
8、)11.25(升)因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11.25升重难点突破【例4】已知函数f（x）=，其中a0.（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.若a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当等价于 解不等式组得-5a5.因此.巩固提高1若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9解析f(x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为
9、零，122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab229，当且仅当ab3时取到等号答案D2已知函数f(x)x4x32x2，则f(x)()A有极大值，无极小值 B有极大值，有极小值C有极小值，无极大值 D无极小值，无极大值解析f(x)x34x24xx(x2)2f(x)，f(x)随x变化情况如下x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)0因此有极小值无极大值答案C3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件解析yx281，令y0解得x9(9舍去)当0x9时，y0；当x9时，y0，则当x9时，y取得最大值，故选C.答案C4函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析f(x)3x26x3x(x2)当x0时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，故当x2时取得极小值来源:答案25若函数f(x)在x1处取极值，则a_.解析f(x)在x1处取极值，f(1)0，又f(x)，f(1)0，即21(11)(1a)0，故a3.答案3
