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1、皇后与女仆从数学史看数学的文化价值引言：从数学的公众形象谈起.大家可能已听说教育部在课程改革过程中做过的一项调查,这项调查涉及中学生对各门课程的态度.调查结果显示,中学生对数学课的态度概而言之是:又爱又恨,意思是又喜欢又讨厌,或者是有的喜欢,有的讨厌.中央电视台在配合2002年国际数学家大会而制作数学传播节目时所作的公众问答也反映,数学在大多数公众的心目中是一堆数字和公式,抽象、深奥甚至神秘,对数学的应用价值也不甚了了。数学的这种公众形象从发展现代教育与科学的角度看是堪忧的.数学是一门基础学科, 数学教育是基础教育.对于现代化社会而言,数学素质应该是公民所必须具备的一种基本素质.为了切实地将我
2、国的教育提高到现代的先进的水准,使人们树立起正确的数学价值观,具有十分重要的意义. 当前正在推进的基础教育改革十分重视这一点,采取了一系列措施,其中包括加强数学史和数学文化的教育。教育部新近制订颁布的普通高中数学课程标准(实验)(简称标准)前言部分“二.课程的基本理念”第8条就是“体现数学的文化价值”,其中指出：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数
3、学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。也就是说新课标要求培养学生的正确的数学观和数学价值观，特别要了解数学文化价值.学生只有了解数学的价值，才能自觉学习数学.至于数学史，在帮助学生了解数学的文化价值方面它能发挥重要而且无可替代的作用，就这一点而言，标准提出在高中开设数学史选修课程是非常正确的.下面我主要就从数学史与数学文化相结合的视角来谈谈数学的文化价值. （1）数学为人类提供精密思维的模式 数学是基础学科，是关于数量关系和空间形式的科学，即关于数与形的学问，而数与形可以说无所不在，这就是为什么数学正空前广泛地向几乎一切人类知识和
4、活动领域渗透，对此我们稍后会有更多的讨论.现在我要强调的是，除了数学知识的直接广泛的应用，数学对于人类社会还有一个重要的文化功能，就是培养发展人的思维能力特别是精密思维能力。一个人不管将来从事何种职业，思维能力都可说是无形的财富，而这种能力的培养又不是一朝一夕之功，必须有长时期的磨练。数学， 正像人们常说的那样，是训练思维的体操。那么什么是数学思维或精密思维呢？数学思维包括很多方面。我想概括地和通俗地说，数学思维最基本的两大方面应该是“证”和“算”,“证”就是逻辑推理与演绎证明；“算”就是算法构造与计算，二者对人类精密思维的发展都不可或缺。对“算”大家可能比较容易感受。我们在生活或工作中遇到问
5、题常常会说需要“算一算”，数学家则更是追求解决问题的一般模式或者说一般算法。从简单的三角形面积算法到描述各种自然和社会现象的复杂的方程的解算，定量化的方法已经渗透到各行各业。这里主要说一说“证”。从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理。这种演绎论证的思维模式是古希腊欧几里得的几何原本(图1)首先开创树立的，其影响所及远远超出了数学乃至科学的领域，对人类社会的进步和发展有不可估量的作用。举一个文科学生可能感兴趣的例子。法国大革命形成两部基础文献人权宣言和法国宪法，是资产阶级民主革命思想的结晶。人权宣言开宗明义说：n“组成国民议会的法国人民的代表们,决定把自然的、不可剥夺的
6、和神圣的人权阐明于庄严的宣言之中，以便公民们今后以简单而无可争辩的原则为根据的那些要求能经常针对着宪法与全体幸福之维护。” (图2)而后来(1791年)公布的法国宪法又将人权宣言置于篇首作为整部宪法的出发点。无独有偶，美国独立战争所产生的独立宣言开头也说(图3)：n“我们认为下述真理乃是不言而喻的：人人生而平等，造物主赋予他们若干固有而不可让与的权利，其中包括生存权、自由权以及谋求幸福之权。” 把大家认为“简单而无可争辩的原则”和“不言而喻的真理”作为出发点，按照数学的语言这就是从公理出发。显然，领导法国大革命和美国独立战争的思想家、政治家们都接受了欧几里得数学思维的影响。另外，有记载说美国南
7、北战争时期的总统林肯“相信思维能力像肌肉一样也可以通过严格的锻炼而得到加强”为此他想方设法搞到了一本欧几里得的原本并下决心亲自证明其中的一些定理，1860年他还自豪地报告说他已基本掌握了原本的前六卷”。上述例子是很有代表性的，说明了数学公理化思维、逻辑论证思维对人类文化和社会进步的影响。(二)数学是其它科学的工具和语言关于这一点,很多数学家和非数学家都作过精辟的论述,所以请允许我在这里先来一点引经据典。德国大数学家、号称“数学王子”的高斯(图4)有句名言：“数学是科学的皇后”这句话几乎可以说家喻户晓，但许多人可能不知道，高斯跟这句话一起说了一段话，高斯这段原话的意思可以概括为两句话，“数学是科
8、学的皇后，数学也是科学的女仆。”两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆.”我理解，前一句话突出数学是精密思维的典范，后一句则强调数学为其它科学服务，是其它科学的工具.非常形象和恰当地反映了数学的价值和作用.(二)数学是其它科学的工具和语言（续）高斯是数学家, 我们再看看一些非数学家的观点。德国哲学家康德曾经这样说道： “我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。”无产阶级革命家马克思也说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”(二)数学是其它科学的工具和语言科学史上有大量的例子可以印证高斯和马克思等的观点。在20世纪初相对论的创
9、立过程中，数学就建有奇功。1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski,18641909）提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦(图5)又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。1912年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，一个很重要的要求是使引力定律在一定的坐标变换下保持不变(即所谓协变)。爱因斯坦为此徘徊徬徨了3年时间，最后在他的大学同学数学家格罗斯曼（M. Grossman）介绍下学习掌握了意大利数学家勒维-奇维塔等在黎曼几何基础上发展起来的绝对微分学，亦
10、即爱因斯坦后来所称的张量分析，并很快发现这正是建立广义相对论引力理论的合适的数学工具。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出广义协变的引力方程爱因斯坦指出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成。”广义相对论这幢大厦现在可以盖上金顶了, 而这个金顶依靠的恰恰是数学。 后来，在回顾这段历史时，爱因斯坦坦率地承认了他过去轻视数学是一个极大的错误，他反省道：“在几年独立的科学研究之后，我才逐渐明白了在科学探索的过程中，通向更深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的。”这是爱因斯坦自己的话。是作为一个科学家的深切体会。 根据爱因斯坦的引力场方程从数学上推导出来的结
11、论，有一些后来被实验证实了，例如光线在引力场中的弯曲行为(图6 ，1919年一次日全食过程中观察到的星光弯曲曾轰动世界)。按照爱因斯坦理论空间是弯曲的，刚提到的方程中的未知量是度规张量，空间的形式是靠这个张量来描述的，一旦知道了空间的物质分布，从理论上就可解出这些度规张量，这个空间的形式也就知道了。 按照微分几何学，一般情况下解出的空间曲率是不等于零的，曲率不等于零表示空间有弯曲，但是空间弯曲的理论在爱因斯坦以前数学家们就已经创造出来了，那就是在19世纪初叶高斯和俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波约等人创立并经黎曼等人发展的非欧几何学。高斯曾称这种几何为“星空几何”，罗巴切夫斯基也坚信自己
12、发现的新几何总有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”，爱因斯坦的广义相对论恰恰揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最精彩的例子之一。爱因斯坦的广义相对论后来有有了很大的发展，这些发展大都也与数学密切相关，可以说是物理学家和数学家共同努力的结果。最突出的如英国剑桥大学应用数学系霍金教授，霍金用数学方法严格证明了爱因斯坦方程中奇点的存在性，并据而发展宇宙大爆炸理论和黑洞学说，这些理论深刻地影响着人类的时空观和宇宙观，在社会公众中引起了极大的兴趣。霍金于2002年国际数学家大会期间在中国北京、杭州等地做通俗报告讲解他的宇宙理论(图7)，可以说在当时公众中引起了一场不小的数学热。 (三)
13、数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆数学从它萌芽之日起，就表现出与人类物质生产活动的紧密联系。数学对人类生产的影响， 最突出地反映在它与历次产业革命的关系上。人类历史上迄今发生的三次产业革命， 其主体技术都与数学新理论、新方法的应用有直接或间接的关联。这里仅以第二次产业革命为例。 第二次产业革命的主体技术之一是无线电通讯，然而可以说没有数学就没有无线电通讯，那是因为无线电通讯的物理载体电磁波的存在，最初并不是通过实验或观察，而是基于严密的数学方法作出的预言，具体地说是依据所谓麦克斯韦方程推导而得的结果。 1864年，英国物理学家、数学家麦克斯韦(图8)发表了一篇有划时代意义的电磁学论
14、文，这是他在经历了无数次的失败后，用纯数学的方法对自法拉弟、安培以来的电磁理论的成功总结，他在其中将全部电磁现象规律归结表述为两组方程，即麦克斯韦方程(图9)，并根据对这两组方程的推导结果大胆地预言了一种以光速传播着的波也就是电磁波的存在。麦克斯韦的理论当时只有少数几个犹豫不决的支持者。24年后，德国物理学家赫兹在振盪放电实验中证明了麦克斯韦的预言，不久意大利的马可尼和俄国人波波夫又在赫兹实验的基础上各自独立地发明了无线电报。这样，麦克斯韦方程不仅实现了自牛顿以来物理学的又一次伟大综合，而且为日后风靡全球的无线电技术奠定了基础，从此电磁波走进了千家万户的生活。有人说麦克斯韦方程是改变世界的方程
15、，我想这不算夸张。深入了解科学的历史将会发现，这样的方程还远不止是麦克斯韦方程。应该说明，数学与人类生产的联系是复杂的、曲折的。数学往往会走在前头， 然后再在生产中获得应用，即依靠数学内部矛盾的推动而发展起来的纯粹的、抽象的理论，最终会反过来推动社会生产的发展，在科学史上不乏这样的例子。 1901年英国数学家罗素(图10)曾提出过一个集合论的悖论，罗素为了让普通老百姓了解数学本身存在的矛盾，后来又把它改编成通俗的形式，即所谓“理发师悖论”：一个村庄里的理发师说：“我只给那些不给自己理发的人理发。”那么这个理发师该不该给自己理发呢？试试看, 你会发现, 从理发师的声明出发, 无论怎样推论, 得到的都是与假设相反的结论自相矛盾，这就是悖论。那末这样一个在书斋里吞云驾雾、冥思苦想得来的近乎游戏的结果， 难道跟人类的生产与生活会有什么干系吗？事实是，由于这个悖论揭示了数学最基础的部分存在的深刻矛盾，在以后三十年中数学家们围绕它展开了激烈的争论并形成了关于数学基础的三大学派，争论的结果引出了一条被誉为是二十世纪最深刻的数学定理哥德尔不完备性定理。 对这个定理所涉及的一个基本概念可判定性的深入研究又促使英国数学家图灵
