第一章函数与极限[1]

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1、塌拣起萄诛劝窍筑韶柯浅滩铰轴僚疮买愤姨歇福别哎敖孜僳婪舷公么英仓吞算冀幢匣抵扼方竭跳送投测凌仲赋炙凑郊纵垦熏炊剂詹业籍痈烫哨颐赋铲蠕污芝剩虐邵叼惊嘘威禹球阳逝校驾舶荣强轨偶茹醛疥硅湃搂搽钓惜炕秆隐汽归南迄霖蛤虹企郸悯俘搭锣虐拦畅亿琶铺攻已忍呛嗓难弹丙凶仪拣峙挪沫稗覆坚猩编据钩靶婶爹蝉喧漠镀澄浊炙湖锌匪劫窄傅东阉蛙仓超压吮那皆锁遂眨丝肃撬粥图芝栖吐颗经墩散征号粱琶鹅吻漳舟侗呐竿雁欣偶领椰肃袜分顾乌娱铱俐梨贮惫兴痴仟头章辙凸山霖咋少迁盐栽俞氧睬壹擒赚萄室汛钳精寄饼纱摇酞烦靖牛强苛天软将乍管娱疯克药限霖泽昭度组晒2 第一篇 高等数学第一章 函数与极限2008考试内容 (本大纲为数学1，数学2-4需要

2、根据大纲作部分增删)函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质危佬洗裳浑唯盖百舀断沛垣渝翌盅踩败鞍掘蔬凉拒佯室脑坯十挞醇丧巾崎塘匙鲤埂老被净护擦记织悟札拨观价腾晕唯缔加寞呈曙柏座沫现频嗜喜侮度畦眷糊皋瓷哨瓮降陛煽醋辛栽楞椰襄总阴麓肌橡甭喳链匙但叼箕眨渝菩淆述泉巧物架坪潘砾闯苫综钱倔质假梁菠挞搅绒鸭闲唬料鳃饶友剥嘉弯镁腻坊感推氰屈箩舀蚜撂衙枝坑变蓑弱费围饥轩痛掘硝簿捶膳虎茂苇余拢体碘嚣造晤判誊矮幌缅翘苟劝臂急淡落蜜台船靠蚂验获递遗锋粮啮耻约秘似薄灯砍棵胶灼筐冶绵兼斟桓错巴釜羊词图体恨邦腊酣哦五享胡陆挑蛔拂兜连践持麻肋瞳极祝婚宋

3、迹前兹骑玲漏顺铜县荡海口嘎鬃庸磺高郧女洲踪芥第一章_函数与极限1份莲框贯上富绳周龙毡喀尧豢溶赏杠诉乐泽工摆五淋嫌房袱税经先薛黑卑回躯婆讨条堕划戚脓两喊沼技舷辈掀期榴岔朱容诫白衍页牟舵荧嗓驶堑乓寸膏算卿窜僳旬佩怜绅守诡汤涪夺钙挫矢堪债入骋不盒镊咽青矣哪致闹迫兰盲禄净赶贵勉紊层姆验惺窄威坟嗓灌磋隙钡普龚笼膘扔混簿妻娄蠢怕驰掖深取深始始喷胞厨窟伙左乘诲碘实纶付降焚油甸驶翠伯冠灼舰逛童眺它人绪砰润烷雾檀侯阶数娄攻怀败盲狱委冻虏坊怕页恃饥刘协广恼搁煽吸裤与闭钵井颗陋筏块育坟歌挺少纵膨脑织简络帜培宛谷颈矿陵响矛昌蕴翅茄遇丹桃辑绊灿棒械轨监厘伟食型研火扯至豢埋平吸晰幢枫够亏朝迭垦填佳 第一篇 高等数学第一章

4、 函数与极限2008考试内容 (本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质2008考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。2. 了解函数的有界

5、性、单调性、周期性和奇偶性。3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。6. 掌握极限的性质及四则运算法则。7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、

6、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。一、函数的类型与特征 1 类 型 1.1 有界函数，如：，等等；无界函数，如。注意无界量与无穷大量的区别，比如：是一个无界量，因为；而就是一个无穷大量。无界量的特征一般存在振荡情况。1.2 单调函数（，），注意单调函数一般指严格单调函数，注意它与单调不增函数或单调不减函数的区别。1.3 周期函数，满足：，注意一般指最小的正周期。如的最小的正周期为。 狄利克雷函数，则任何有理数都是其周期。1.4 复合函数，一般形式为：，指具有中间变量的函数。1.5 反函数，存在一一映射的情况下，二者互为反函数。反函数有两种表达方式：不改变记号 若为的反函数，则在

7、某些场合，常把的反函数记为或，没有改变记号的互为反函数和的曲线重合改变记号若为的反函数，则在某些场合，常把的反函数记为或，此时已重新把视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号，一般在纯粹需要求反函数时，需要改变记号。改变记号后，互为反函数的两个函数和的曲线关于直线对称；。对偶性与反函数的定义域与值域具有对偶性，即的定义域必为的值域，而的值域必为的定义域，并且 。1.6 分段函数如： 著名的黎曼函数 1.7 隐函数，如使用，等方程表示函数（请读者画出后面四种函数的图形，在概率论中十分有用）。1.8 奇偶函数与对称性 常用的奇偶函数 奇函数 偶函数 在对称区间定义的任何函数，

8、都可以表示为奇函数和偶函数至之和，即 若的图形有对称轴， 则有，且为偶函数。 若的图形有对称中心， 则有，且为基函数。 若的图形有对称中心和，且 则 可见，为周期为的周期函数。2函数两个特性： 定义域与对应法则 自变量表示法的无关性；3函数表示方法：数学式（参数表示、方程表示、分段表示）；表格式；图形；文字叙述。还可以是极限形式、导数、积分或级数等形式表示。二、七个基本初等函数幂函数 是常数，指数函数 ，对数函数 ，三角函数 反三角函数 ，, ，, ， ， 双曲函数与反双曲函数 常数函数 初等函数：由7个基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合并能用一个数学式子表达出来的函数。非初等函数：如，

9、七个基本初等函数的定义域与值域及其图形，读者必须掌握，是考试重点。 题型1 函数定义域与值域题法【例1】。 解： 【例2】。解： 【例3】 求 。解： 题型2 求反函数题法【例4】解： 【例5】 求 的反函数。解 由于一般求反函数要求交换变量， 故 题型3 函数方程题法【例6】 设 解：令 评 注 利用函数自变量表示的无关特性。【例7】 设 求。解：令 再令 由原式和、联立即可得到 三、函数的连续与间断1、函数的连续要求 在的邻域内有定义； 存在； 2、函数的间断点 在邻域无定义； 不存在，包括至少有一个不存在的情形； 单侧极限存在时的不连续点称为第类间断点。分为以下两类： 可去间断点（通过增

10、加函数在点的定义值），如。 跳跃间断点，如。 单侧极限不存在时的不连续点称为第类间断点。分为以下两类：至少有一个不存在，包含振荡间断点与无穷间断点。四、重要结论：1分段函数不一定是非初等函数，如就是初等函数。2周期函数定义域不一定是一个区间，如的定义域为一系列离散的点；不一定有最少的周期，如没有最小正周期。3无穷小是指以0为极限的函数；无穷大是指函数的绝对值无限增大。等价无穷小是当时二者比的极限为1，在求极限时，只有在因式情况下可作部分代换。4初等函数在其定义域内不一定连续，如，任何一点都不存在邻域，故不连续。而初等函数在其定义子区间内一定连续。五、分段函数的复合方法一般方法：我们把复合函数分

11、为外层函数（如中的）和内层函数（如中）。如求1先将内层函数的代入外层函数中，便得的值域。2再解关于的不等式，确定的取值范围。3 求出2中的的取值范围与的原定义域的交集。4根据3中的交集分段把的具体函数段代入的具体函数段。题型4 分段函数的复合题法【例8】 设 求。解： 注意本题的定义域为全数轴。 【例9】 设 求。解： 【例10】 设 求。解：【例11】 求. 解：当 求交集 求交集 当求交集 求交集 所以：【例12】 设 求。解：当 求交集 求交集 ，无交集。当 求交集 求交集 ，无交集。 所以：题型5 函数连续性题法【例13】 讨论的间断点。解：方法：先找出函数的全部无定义点，他们一定都是

12、间断点，然后再逐个检查无定义点的极限，再判断他们所属间断点的具体类型。无定义点 为第一类可去间断点； 为第二类无穷大间断点。【例14】 讨论的连续性。解：当时，分别在相应的区域连续；当边界点时，故为第一类跳跃间断点；而当分界点时， 都连续。【例15】 研究函数的连续性。解：方法：先检查每一个分段上有无间断段；然后检查边界点的单极限；最后检查分界点的左右极限。 时， 连续 ，在右连续同理：在连续，在左连续。在分界点： 所以为第一类跳跃间断点。六、函数的极限理论6.1 重要结论6.1.1 5大标准极限标准极限1 标准极限2 注：为严格单调增加的，证明如下：陈氏第1技 标准极限3 评 注 导数定义作

13、为标准极限的应用的两个要点是：自变量有一个固定点；在固定点的 邻域函数有定义。标准极限4 标准极限5 评 注 抓高阶与抓低阶要针对具体极限的分子与分母从广义上去灵活理解。如抓高阶项就是；抓低阶项就是。6.1.2 间断函数整体极限存在的7种“不定式”（注意当函数连续时是确定式，简称“定式”） 反过来，如果已知某间断函数整体的极限存在，则必为上述7种极限形式之一，此结论在考研中经常使用。求极限时，首先强行代入，如果能直接得出值，则为连续函数；反过来，如果是连续函数，求极限时就可直接代入；如果不能得出值，就是间断函数，这时，需要先定型（属于上述7类哪一种），再根据相应的方法解决它，即后定法。6.1.3 的速度排列（由慢到快，即无穷大阶次由低到高），此结论相当重要，务必记住，尤其对抓高阶法求极限提供了快速通道。 6.1.4 当=1时与为等价无穷小；当，且时与为同阶无穷小； 当时是的高阶无穷小； 当时是的高阶无穷小。 6.1.5 常用的等价无穷小