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1、4. 矩阵的幂级数在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。一、矩阵级数1.Df1.：若给定中的一方阵序列，则和式 称为方阵级数，记为。其中为通项，m求和变量。称为（1）的前N项部分和序列（矩阵序列）若，则称（1）收敛，且其和为S说明：若记 表示的 第i行第j列位置上的元素，根据定义1显然有，收敛个数项级数收敛。Df2.若个数项级数绝对收敛，则称绝对收敛。2.收敛方阵级数的性质：若方阵级数绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。方阵级数收敛对任一方阵范数，正项级数收敛。下面研究矩阵（方阵）幂级数二、矩阵幂级数Df1.设，称为矩阵A的幂级数，其中为一复
2、数序列，称为幂级数的部分和，若，称收敛于S，并称S为幂级数的和矩阵。注：若令，则矩阵幂级数矩阵级数的形式。因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。即：Th1.矩阵幂级数收敛于其中，,分别表示和的第i行，第j列元素。Th2.矩阵幂级数绝对收敛对任一范数，正向级数级数收敛。Proof:若收敛，考虑的敛散性，由矩阵范数的等价性，与等价，即使（由比较审敛法）收敛。又 收敛，因此，绝对收敛。若绝对收敛收敛收敛，即收敛。由矩阵范数的等价性对任一矩阵范数，使，有收敛。推论1.若绝对收敛（收敛），则绝对收敛（收敛）其中P,Q为给定的n阶方阵，且有Proof：绝对收敛绝对收敛。又由比较审敛法，绝对收敛。
3、下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：Th3.设复变数幂级数的收敛半径为R，A的谱半径为，则：当时，绝对收敛。当时，发散。Proof：若，（如取） 收敛存在矩阵,若，设，其中x为单位向量，若收敛，则由推论1.知：也收敛，但在收敛域之外而发散，矛盾，故，发散。应该注意：时，无法确定。推论2.若的收敛半径，则对，绝对收敛，即复变数幂级数在整个复平面上收敛。eg1.的收敛半径，对,有，故且绝对收敛。eg2.设，试证明绝对收敛。Proof：的收敛半径。则只要证即可。对任意的矩阵范数，都相互等价，不妨取，有：由Th3，绝对收敛。eg3.若， 证明：Proof:即 两边取极限 左边右边（由上节Th5. ,）所以有，即eg4.设 试判断的敛散性 试证明：绝对收敛。解：,设的收敛半径为R。 可见，故发散。的收敛半径 故绝对收敛。说明：象幂级数一样，有时还会遇到如的幂级数，对于它的敛散性，可用下列定理判别。Th4.若的收敛半径为R，对，其特征值为，若满足。则绝对收敛；若有某一使，则发散。20
