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1、 人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章 二次根式21.1 二次根式知识点一 二次根式概念(1) 普通地,我们把形如(a0)式子叫做二次根式。二次根式实质是一种非负数a算术平方根。其中“”叫做二次根号。(2) 对的理解二次根式概念,要把握如下几点: 二次根式是在形式上定义,必要具有二次根号“”。如是二次根式,虽然=2,但2不是二次根式。 被开方数a必要是非负数,即a0.如就不是二次根式,但式子2是二次根式。 “”根指数为2,即“”,普通省略根指数2,写作“”,注意,不可误以为根指数是“1”或“0”。提示:判断是不是二次根式,一看形式,二看数值,即形式上要有二次根号,被开方数要是非负数。知识点
2、二 二次根式性质(1)(a0)既是二次根式,又是非负数算术平方根,因此它一定是非负数,即(a0),我们把这个性质叫做二次根式非负性。(2)()2 = a (a0),这个性质可以正用,也可以逆用,正用时惯用于二次根式化简和计算,可以去掉根号;逆用时可以把一种非负数写成完整平方数形式,惯用于多项式因式分解。(3)2 = a (a0),这个性质可以正用,也可以逆用,正用时用于二次根式化简,即当被开方数能化为完全平方数(式)时,就可以运用该性质去掉根号;逆用时可以把一种非负数化为一种二次根式。知识点三 代数式定义:用基本运算符号(基本运算涉及加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表达数字母连接起来式子,叫
3、做代数式。21.2 二次根式乘除知识点一 二次根式乘法法则普通地,对二次根式乘法规定:=(a0,b0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变。知识点二 积算术平方根性质=(a0,b0),积算术平方根等于积中各个因式算术平方根积。知识点三 二次根式除法法则普通地,对二次根式除法规定:=(a0,b0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变。知识点四 商算术平方根性质=(a0,b0),即商算术平方根等于被除式算术平方根除以除式算术平方根。知识点五 最简二次根式必要满足如下两个条件:（1） 被开方数不含分母;（2） 被开方数中不含能开得尽方因数或因式。21.3 二次根式加减知识点一 二
4、次根式加减二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相似二次根式合并,二次根式加减法实质是将被开方数相似二次根式合并,合并时只把系数相加减,根指数和被开方数不变。知识点二 二次根式混合运算（1） 二次根式混合运算顺序与整式混合运算顺序相似:先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号先算括号里面。（2） 在二次根式运算中乘法法则和乘法公式依然合用。22.1 一元二次方程知识点一 一元二次方程定义等号两边都是整式,只具有一种未知数(一元),并且未知数最高次数是2(二次)方程,叫做一元二次方程。注意一下几点: 只具有一种未知数;未知数最高次数是2;是整式方程。知识点二 一元二次方程普通
5、形式普通形式:ax2 + bx + c = 0(a 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。知识点三 一元二次方程根使一元二次方程左右两边相等未知数值叫做一元二次方程解,也叫做一元二次方程根。方程解定义是解方程过程中验根根据。22.2 降次解一元二次方程22.2.1 配办法知识点一 直接开平办法解一元二次方程（1） 如果方程一边可以化成含未知数代数式平方,另一边是非负数,可以直接开平方。普通地,对于形如x2=a(a0)方程,依照平方根定义可解得x1=,x2=.（2） 直接开平办法合用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m0)形式方程,如果p0,就
6、可以运用直接开平办法。（3） 用直接开平办法求一元二次方程根,要对的运用平方根性质,即正数平方根有两个,它们互为相反数;零平方根是零;负数没有平方根。（4） 直接开平办法解一元二次方程环节是:移项;使二次项系数或具有未知数式子平方项系数为1;两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;解一元一次方程,求出原方程根。知识点二 配办法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程办法,叫做配办法,配方目是降次,把一种一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配办法普通环节可以总结为:一移、二除、三配、四开。（1） 把常数项移到等号右边;（2） 方程两边都除以二次项系数;（3） 方程两边都加上一
7、次项系数一半平方,把左边配成完全平方式;（4） 若等号右边为非负数,直接开平方求出方程解。22.2.2 公式法知识点一 公式法解一元二次方程（1） 普通地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),如果b2-4ac0,那么方程两个根为x=,这个公式叫做一元二次方程求根公式,运用求根公式,我们可以由一元二方程系数a,b,c值直接求得方程解,这种解方程办法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式推导过程,就是用配办法解普通形式一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)过程。（3） 公式法解一元二次方程详细环节: 方程化为普通形式:ax2+bx+c=0(a0),普通a化为正值 拟定公式中a,b,c
8、值,注意符号; 求出b2-4ac值; 若b2-4ac0,则把a,b,c和b-4ac值代入公式即可求解,若b2-4ac0,则方程无实数根。知识点二 一元二次方程根鉴别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a0)根鉴别式,通惯用希腊字母表达它,即=b2-4ac. 0,方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等实数根一元二次方程 =0,方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等实数根根鉴别式0,方程ax2+bx+c=0(a0)无实数根 22.23 因式分解法知识点一 因式分解法解一元二次方程（1） 把一元二次方程一边化为0,而另一边分解成两个一次因式积,进而转化为求两个求一元一次方程解,
9、这种解方程办法叫做因式分解法。（2） 因式分解法详细环节: 移项,将所有项都移到左边,右边化为0; 把方程左边分解成两个因式积,可用办法有提公因式、平方差公式和完全平方公式; 令每一种因式分别为零,得到一元一次方程; 解一元一次方程即可得到原方程解。知识点二 用适当办法解一元一次方程 办法名称 理论根据 合用范畴直接开平办法 平方根意义形如x2=p或(mx+n)2=p(p0)配办法完全平方公式所有一元二次方程公式法配办法所有一元二次方程因式分解法当ab=0,则a=0或b=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式积一元二次方程。 22.2.4 一元二次方程根与系数关系若一元二次方程x2+px+q
10、=0两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=,x1x2=22.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题普通环节:（1） 审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间等量关系。（2） 设:是指设元,也就是设出未知数。（3） 列:就是列方程,这是核心环节,普通先找出可以表达应用题所有含义一种相等含义,然后列代数式表达这个相等关系中各个量,就得到具有未知数等式,即方程。（4） 解:就是解方程,求出未知数值。（5） 验:是指检查方程解与否保证明际问题故意义,符合
11、题意。（6） 答:写出答案。知识点二 列一元二次方程解应用题几种常用类型（1） 数字问题三个持续整数:若设中间一种数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。三个持续偶数(奇数):若中间一种数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。三位数表达办法:设百位、十位、个位上数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.(2) 增长率问题设初始量为a,终结量为b,平均增长率或平均减少率为x,则通过两次增长或减少后等量关系为a(1)2=b。(3)利润问题利润问题惯用相等关系式有:总利润=总销售价-总成本;总利润=单位利润总销售量;利润=成本利润率(4)图形面积问题依照图形面积与图形边、高等有关元素
12、关系,将图形面积用具有未知数代数式表达出来,建立一元二次方程。第二十三章 旋转23.1 图形旋转知识点一 旋转定义 在平面内,把一种平面图形绕着平面内某一点O转动一种角度,就叫做图形旋转,点O叫做旋转中心,转动角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转三要素。知识点二 旋转性质旋转特性:(1)相应点到旋转中心距离相等;(2)相应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角;(3)旋转前后图形全等。理解如下几点:（1） 图形中每一种点都绕旋转中心旋转了同样大小角度。(2)相应点到旋转中心距离相等,相应线段相等,相应角相等。(3)图形大小和形状都没有发生变化,只变化了图形位置。知识点三 运用旋
13、转性质作图旋转有两条重要性质:(1)任意一对相应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角;(2)相应点到旋转中心距离相等,它是运用旋转性质作图核心。环节可分为: 连:即连接图形中每一种核心点与旋转中心; 转:即把直线按规定绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) 截:即在角另一边上截取核心点到旋转中心距离,得到各点相应点; 接:即连接到所连接各点。23.2 中心对称知识点一 中心对称定义中心对称:把一种图形绕着某一种点旋转180,如果它可以与另一种图形重叠,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。注意如下几点:中心对称指是两个图形位置关系;只有一种对称中心;绕对称中心旋转180两个
14、图形可以完全重叠。知识点二 作一种图形关于某点对称图形要作出一种图形关于某一点成中心对称图形,核心是作出该图形上核心点关于对称中心对称点。最后将对称点按照原图形形状连接起来,即可得出成中心对称图形。知识点三 中心对称性质有如下几点:（1） 关于中心对称两个图形上相应点连线都通过对称中心,并且都被对称中心平分;（2） 关于中心对称两个图形可以互相重叠,是全等形;（3） 关于中心对称两个图形,相应线段平行(或共线)且相等。知识点四 中心对称图形定义把一种图形绕着某一种点旋转180,如果旋转后图形可以与本来图形重叠,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它对称中心。知识点五 关于原点对称点坐标在平面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们坐标符号相反,即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。第二十四章 圆24.1 圆24.1.1 圆知识点一 圆定义圆定义:第一种:在一种平面内,线段OA绕它固定一种端点O旋转一周,另一种端点A所形成图形叫作圆。固定端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。第二种:圆心为O,半径为r圆可以当作是所有到定点O距离等于定长r点集合。比较圆两种定义可知:第一种定义是圆形成进行描述,第二种是运用集合观点下定义,但是都阐明拟定了定点与定长,也就拟定了圆。知识点二 圆有关概念（1） 弦:连接圆上任意两点线段叫做弦,通过圆
