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1、 第11章 动量矩定理 137第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“”、错误的打“”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 ()2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。()3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 ()4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。 ()5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 ()6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。 ()7. 质点系对某点的动量矩定理中的点“O”是固定点或质点系的
2、质心。 ()8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB，对转轴的转动惯量为 ，式中为AB杆的质量。 ()9. 当选质点系速度瞬心P为矩心时，动量矩定理一定有 的形式，而不需附加任何条件。 ()10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。 () 图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。2. 质量为m，绕z轴转动的回旋半径为，则刚体对z轴的转动惯量为。3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对
3、该点的矩有关，而与系统的内力无关。5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x轴之矩的代数和等于零。6. 质点质量为，在平面内运动， 如图11.24所示。其运动方程为，其中 、为常数。则质点对原点O的动量矩为。7. 如图11.25所示，在铅垂平面内，均质杆OA可绕点O自由转动，均质圆盘可绕点A自由转动，杆OA由水平位置无初速释放，已知杆长为，质量为；圆盘半径为，质量为。则当杆转动的角速度为时，杆OA对点O的动量矩；圆盘对点O的动量矩；圆盘对点A的动量矩。 图11.24 图11.258. 均质T形杆
4、，OA = BA = AC = l，总质量为m，绕O轴转动的角速度为，如图11.26所示。则它对O轴的动量矩。9. 半径为R，质量为m的均质圆盘,在其上挖去一个半径为r = R/2的圆孔，如图11.27所示。则圆盘对圆心O的转动惯量。 图11.26 图11.2710. 半径同为R、重量同为G的两个均质定滑轮，一个轮上通过绳索悬一重量为的重物，另一轮上用一等于的力拉绳索，如图11.28所示。则图11.28(a)轮的角加速度；图11.28(b)轮的角加速度。图11.28三、选择题1. 均质杆AB，质量为m，两端用张紧的绳子系住，绕轴O转动，如图11.29所示。则杆AB对O轴的动量矩为A。(A) (
5、B) (C) (D) 2. 均质圆环绕z轴转动，在环中的A点处放一小球，如图11.30所示。在微扰动下，小球离开A点运动。不计摩擦力，则此系统运动过程中B。(A) 不变，系统对z轴的动量矩守恒(B) 改变，系统对z轴的动量矩守恒(C) 不变，系统对z轴的动量矩不守恒(D) 改变，系统对z轴的动量矩不守恒3. 跨过滑轮的轮绳，一端系一重物，另一端有一与重物重量相等的猴子，从静止开始以速度向上爬，如图11.31所示。若不计绳子和滑轮的质量及摩擦，则重物的速度B。(A) 等于，方向向下(B) 等于，方向向上(C) 不等于 (D) 重物不动图11.29 图11.304. 在图11.32中，摆杆OA重量
6、为G，对O轴转动惯量为，弹簧的刚性系数为k，杆在铅垂位置时弹簧无变形。则杆微摆动微分方程为D(设)。(A) (B) (C) (D) 图11.31 图11.325. 在图11.33中，一半径为R。质量为m的圆轮，在下列情况下沿水平面作纯滚动：(1) 轮上作用一顺时针的力偶矩为M的力偶；(2) 轮心作用一大小等于的水平向右的力F。若不计滚动摩擦，二种情况下C。(A) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小相等(B) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小相等(C) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小不相等(D) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小不相等6. 如图11.34所示组合体由均质细长杆和均质圆盘组成，均质细长
7、杆质量为M1，长为L，均质圆盘质量为M2，半径为R，则刚体对O轴的转动惯量为A。 (A) (B) (C) (D) 图11.33 图11.34 四、 计算题11-1各均质物体的质量均为，物体的尺寸及绕固定轴转动角速度方向如图11.35所示。试求各物体对通过点并与图面垂直的轴的动量矩。图11.35解：（a）杆对通过点并与图面垂直的轴的动量矩为 （b）圆盘对通过点并与图面垂直的轴的动量矩为 （c）圆盘对通过点并与图面垂直的轴的动量矩为 11-2 如图11.36所示，鼓轮的质量，半径，对转轴 O 的转动惯量。现在鼓轮上作用力偶矩来提升质量的物体 A。试求物体A上升的加速度，绳索的拉力以及轴承O的反力。
8、绳索的质量和轴承的摩擦都忽略不计。解：（1）选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点系动量矩定理，有 解得鼓轮转动的角加速度为 物体A上升的加速度为 （2）要求绳索的拉力，可选物体 A为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有 解得绳索的拉力为 （3）要求轴承O的反力，可选鼓轮为研究对象，受力分析如图所示。应用质心运动定理，有 ，解得 ， 图11.36 图11.3711-3 半径为，质量为的均质圆盘与长为、质量为的均质杆铰接，如图11.37所示。杆以角速度绕轴O转动，圆盘以相对角速度绕点A转动，(1)；(2)，试求系统对转轴O的动量矩。解：系统对转轴O的动量矩是由杆对转轴O的动
9、量矩和圆盘对转轴O的动量矩两部分组成。杆对转轴O的动量矩为 （1）当时，圆盘转动的绝对角速度为 圆盘对转轴O的动量矩为 故系统对转轴O的动量矩为 （2）当时，圆盘转动的绝对角速度为 圆盘对转轴O的动量矩为 故系统对转轴O的动量矩为 11-4 两小球C、D质量均为，用长为的均质杆连接，杆的质量为，杆的中点固定在轴AB上，CD与轴AB的夹角为，如图11.38所示。轴以角速度转动，试求系统对转轴AB的动量矩。解：杆CD对转轴AB的动量矩可表示为 球C、D对转轴AB的动量矩可表示为 系统对转轴AB的动量矩为 11-5 小球M系于线MOA的一端，此线穿过一铅垂管道，如图11.39所示。小球M绕轴沿半径的
10、水平运动，转速为。今将线OA慢慢拉下，则小球M在半径的水平圆上运动，试求该瞬时小球的转速。解：选小球为研究对象，小球受有重力和绳子拉力作用，受力分析如图所示。由于重力和绳子拉力对轴的矩均等于零，即，可知小球对轴的动量矩保持守恒。即有 而，代入上式，有 故，即小球M在半径的水平圆上运动瞬时小球的转速为 图11.38 图11.3911-6 一直角曲架ADB能绕其铅垂边AD旋转，如图11.40所示。在水平边上有一质量为的物体C，开始时系统以角速度绕轴AD转动，物体C距D点为，设曲架对AD轴的转动惯量为，求曲架转动的角速度与距离之间的关系。解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。从受力图可以看出，系统
11、所受的全部外力对轴的矩等于零。系统对轴的动量矩也保持不变，即 解得曲架转动的角速度与距离之间的关系为 11-7 电动机制动用的闸轮重为W(可视为均质圆环)，以角速度绕轴转动，如图11.41所示。已知闸块与闸轮间的滑动摩擦系数为f，闸轮的半径为r，它对O轴的转动惯量为，制动时间为，设轴承中的摩擦不计。求闸块给闸轮的正压力。解：选闸轮为研究对象，受力分析如图（b）所示。我们可以应用动量矩定理来计算闸块给闸轮的正压力。先计算制动后闸轮的角加速度，由运动学可知 可知制动后闸轮的角加速度为式中负号表明真实的角加速度的转向与图中假设的转向相反，即闸轮作减速转动。然后应用动量矩定理，有 而，代入上式，可解得闸块给闸轮的正压力为 图11.40 图11.41
