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1、中考数学中的“存在性”问题四川中江会棚中学 兰李城“存在性”问题是一种常见的结论为开放与探索型问题。其数学一般以几何图形成函数图象为载体，以探索点或线（尤其以点）的存在性问题最为常见。通常是给出问题条件，让解题者根据条件探索相应结论，并且有时符合条件的结论往往不止一个，或者相应论证的“存在性”需要在解题时进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论。近年来，这类题型在全国很多地方的中考中都有所出现，而且频率逐年上升。它的出现对考查学生的发挥思维和综合运用知识的能力，推动初中数学教学改革和促进创新人才的培养具有重要作用。解这类题的一般方法是先假设存在，然后由此出发，结合已知条件进行大胆猜想，通
2、过计算推理论证得出某个结果，若结果合理，则说明假设成立，否则，假设不存在。例1：如图1，抛物钱y=x2+bx+c交x轴于A、B两点交y轴于点C（0,2），连接AC，tanOAC=2（1）求抛物线的表达式。（2）在抛物线的对称轴T上是否存在点P，使APC=90？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。解：（1）抛物线y=x2+bx+c过点（0,2），则c=2。又tanOAC= ，则OA=1，即A（1，0），点A（1，0）在抛物线y=x2+bx+c上，则b=-3。抛物线的表达式为y=x2-3x+2（2）存在。过点C作对称轴T的垂线，垂足为D，由对称轴得：AE=OE-OA=若APC=90，则PA
3、E=CPD。tanPAE=tanCPD即解得：PE=或。点P的坐标为（即：在抛物线的对称轴T上存在点P，使APC=90，其点P坐标为（。例2：如图2，已知抛物线y=-x2-(m-4)x+3(m-1)上x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。（1）求m的取值范围（2）若m0，直线y=kx-1过点A，与y轴交于点D，且ADBD=5，求抛物线的表达式。（3）若点A在点B左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在点P，使直线PA平分ACD的面积？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。解：（1）如图2，抛物线与x轴有两个交点。=（m-4）2+43（m-1）0，即（m+2）20，则m-2。对抛物
4、线与y轴交点在x轴下方。3（m-1）0,解得m1。由对称轴x=-M的取值范围是m1且m-2。（2）设A、B两点坐标为（x,0）,（x2，0）。由AD2=OA2+OD2，OD=1，则AD2=x12+1同理，BD2=x22+1ADBD=5，则（x12+1）（x22+1）=50即（x1+x2）+（x1x2-1）2=50根据x1+x2=-（m-4） x1x2=-3（m-1）则（m-4）2+（3m-2）2=50 m=-1或m-3（舍去）抛物线的表达方式为：y=-x2+5x-6（3）设CD中点为E，则直线AE平分ACD的面积，由（2）知A（2，0）、B（3，0）、C（0，6）得E（0，-）设AE的表达式为
5、：y=kx+b 则直线AE的表达式为y=解联立方程组得 直线AE与抛物线的交点（2，0）、（）即为抛物线上点P的坐标，但均不在第一象限。不存在这样的点P。例3：如图3，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5AD=4，BC=10，点E在F底BE上，点F在腰AB上。（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE=x，试用含x的代数式表示BEF的面积。（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时平分？若存在，求出此时BE的长，若不存在请说明理由。（3）是否存在线段EF，将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的部分？若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由。解：（1）由已知条件得梯形周长24，高4，面积为28，BF=12-x，（7x10）。过点F作FGBC于G，过点A作AKBC于K，则可得FG=SBEF=（2）存在。由（1）得解得x1=7 x2=5（不含题意，舍去）存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，此时BE=7。（3）不存在。假设存在，则SBEF：S五边形AFECD=1：2（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2BF=8-x则有整理得3-24x+70=0=576-8400不存在这样的实数x。即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1：2的部分。1
