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1、临清三中数学组 编写人 刘桂江 审稿人 庞红玲 李怀奎2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一 步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小 和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为 解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平 行区别开。二、教学目标设计1掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算；2理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判
2、断两个向量是否平行； 3通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了 解事物运动变化的辩证思想。三、教学重点与难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。四、教学用具准备多媒体、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计1设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系 F= m a ，位移与速度的关系和 (- a) + (- a) + (- a) 向量,s= v t 。这些公式都是实数与向量间的关系。师：我们已经
3、学习了向量的加法,请同学们作出a + a + a并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生: a + a + a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，（-a）+ （- a）+ （- a）的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘 积）2探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3+3+3+3+3= 3 5的解释，类比规定：实数久与向量a的积就 是久a,它还是一个向量，但要对实数久与向量a相乘的含义作一番解释才
4、行。实数久与向量a的积是一个向量，记作久a.它的长度和方向规定如下：（1）IA a =丨久 II a I.Aa的方向与a的方向相反;（2） A 0时，A a的方向与a的方向相同；当A (1)(久 + )a = Aa + 卩a ；AA(2) A(卩a)=(加a)；3) A( a + b) = A a + Ab .通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。小练习 1：计算：(1 ) (- 3) 4a2) 3(a+ b)- 2(a- b)- a3) (2a+ 3b- c)-(3a- 2b+ c).3）向量平行的充要条件：请同学们观察a = m- n , b = - 2m + 2n，回答a、b有
5、何关系?生：因为b = - 2a，所以a、b是平行向量.引导：若a、b是平行向量，能否得出b = a a ?为什么？可得出a = xb吗？为什么？生：可以！因为a、b平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充要条件：向量b与非零向量a平行的充要条件是有且仅有个实数A，使得b = Aa .对此定理的证明，是两层来说明的其一，若存在实数A，使b = A a，则由实数与向量乘积定义中第（2）条可知Ab与a平行，即b与a平行. | b |其二，若方与a平行，且不妨令a 0，设戸=卩（这是实数概念）.接下来看a、b| a |方向如何：a、b同向，则b = “a，若a、b反向，则记b =-卩a，
6、总而言之，存在 实数 A （ A = “ 或 A =- “）使 b = A a.小练习2：如图：已知AD = 3AB， DE = 3BC，试判断AC与AE是否平行解：AE = AD + DE = 3 AB + 3BC = 3( AB + BC )= 3 ACAE与Ac平行.4）单位向量：单位向量：模为1 的向量.向量a(a1 o)的单位向量：与a同方向的单位向量，记作a0.思考：可如何用a来表示?(a = | a 1 ao D一 1a = 一0 |a |a)3例题与练习：题1：如图，在AABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上的点，且BE = 2BC，是根据下列要求表示向量DE ：1) 用
7、BA 、 BC 表示(2)用CA、CB表示.题1题2：如图，在AABC中，已知M、N分别是AB、AC的中点，用向量方法证明:MN/- BCCCCi题3：如图，已知OA = kOA，OB =1kOB ， OC = kOC11求证：AABC s AA B C111练习：P145 1、 2、 3、 44课堂小结： (1) 久与a的积还是向量，久a与a是共线的;(2) 向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结 论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题;(3) 运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 5作业布置：练习部分 P88-89习题3
8、 A组 2、3、4、5.P89习题3 B组 2、3.6拓展思考题：设a、b是两个不共线向量,已知 AB = 2a + mb , CB = a + 3b，若 A、B、三点共线，求 m 的值。七、教学建议与说明1从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴 趣。如可以通过物理中力与加速度的关系f= m a，位移与速度的关系s = v t等实际问题 引入实数与向量的积。2实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直 观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。3由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向
9、量间的关系，可以提示从方 向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到 的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平 面中直线间的平行的区别。临清三中数学组 编写人 刘桂江 审稿人 庞红玲 李怀奎2.2.3向量数乘运算及其几何意义课前预习学案预习目标：通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算， 同时也为该运算赋予其物理意义。预习内容： 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数 量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系 F= m a ，位移与速度的关
10、系 s= v t 。这些公式都是实数与向量间的关系。师：我们已经学习了向量的加法,请同学们作出a + a + a和(-a)+ (- a)+ (- a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,(板书课题：实数与向量的乘 积)课内探究学案学习目标：1掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算；2理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行；3通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了 解事物运动变化的辩证思
11、想。学习过程：1、探索研究1)定义：请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积？(可结合教材思考）可根据小学算术中3+3+3+3+3= 3 5的解释，类比规定：实数久与向量a的积就 是久a,它还是一个向量，但要对实数久与向量a相乘的含义作一番解释才行。实数久与向量a的积是一个向量，记作久a.它的长度和方向规定如下：（1）.（2）.2）运算律：问：求作向量2（3a）和6a（ a为非零向量）并进行比较，向量2（a + b）与向量2a + 2b 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：.师：设a、b为任意向量，久、“为任意实数，则有：(1)(久 + “)a = Aa
12、+ 卩a ；(2) A(卩a)=(加a)；3) A( a + b) = A a + Ab .通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。小练习 1：计算：( 1) (- 3) 4a2) 3(a+ b)- 2(a- b)- a3) (2a+ 3b- c)-(3a- 2b+ c).3）向量平行的充要条件：请同学们观察a = m- n，b = - 2m + 2n，回答a、b有何关系?生：引导：若a、b是平行向量，能否得出b = a a ?为什么？可得出a = xb吗？为什么？生：.师：由此可得向量平行的充要条件：向量b与非零向量a平行的充要条件是有且仅有个实数久，使得b = Xa .对此定理的证
13、明，是两层来说明的：其一，若存在实数久，使b =久a，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知Xb与a平行，即b与a平行. | b |其二，若方与a平行，且不妨令a 1 0，设戸=卩(这是实数概念).接下来看a、b | a |方向如何：a、b同向，则b = ya，若a、b反向，则记b =-卩a，总而言之，存在实数 X ( X = “ 或 X =- “)使 b = Xa .小练习2：如图：已知AD = 3AB， DE = 3BC，试判断AC与AE是否平行解：AE = AD + DE = 3 AB + 3BC = 3( AB + BC )= 3 ACAE与AC平行.4) 单位向量：单位向量：模为1的向量.向量a ( a 1 0)的单位向量：与a同方向的单位向量，记作可.思考：可如何用a来表示?2例题与练习：题1：如图，在A4BC中，D是AB的中点，E是BC延长线上的点，且BE = 2BC，是根据下列要求表示向量DE：题1题2：如图，在AABC中，已知M、N分别是AB、AC的中点，用向量方法证明:MN/- BCCCiCis AA B C111题 3：如图，已知OA = kOA，OB = kOB ，OC = kOC ，求证：AABC练习：P145 1、2、3、43课堂小结： (1) 久与a的积还是向量，久a与a是共线的；(2) 向量平行的充要条件的内容和
