《新教材2023版高中数学第五章数列5.2等差数列5.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版选择性必修第三册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材2023版高中数学第五章数列5.2等差数列5.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版选择性必修第三册（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时等差数列的性质1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题2体会等差数列与一元一次函数的关系新知初探新知初探自主学自主学习课堂探究堂探究素养提升素养提升新知初探新知初探自主学自主学习等差中项状元随笔任意两数都有等差中项吗？在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项吗？提示(1)是，任意两个实数都有等差中项，且唯一(2)是，利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an1anan2(n3，nN)，则an为等差数列知识点二等差数列的性质(1)an是等差数列，若正整数s，t，p，q满足stpq，则asat_特别地，当pq2s(p，q，sN)时，2
2、asapaq.对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的_，即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为_数列apaq和等差(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为_的等差数列；can(c为任一常数)是公差为_的等差数列；anank(k为常数，kN)是公差为_的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为_的等差数列dcd2dpd1qd2基 础 自 测1在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A12B16 C20D24解析：在等差数列
3、中，由性质可得a2a10a4a816.答案：B答案：B3在等差数列an中，已知a3a4a5a6a7450，则a2a8_解析：因为a3a4a5a6a75a5450.所以a590，a2a82a5290180.答案：1804设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37()A0B37 C100D37解析：设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn为等差数列又a1b1a2b2100，所以anbn为常数列，所以a37b37100.答案：C课堂探究堂探究素养提升素养提升等差中项及其应用例1在1与7
4、之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列跟踪训练1若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项等差数列的性质【思考探究】1数列1，2，3，4，5，6，7，8，是等差数列吗？1，3，5，7，是等差数列吗？2，4，6，8，是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？提示这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列2在等差数列an中，若an3n1.那么a1a5a2a4吗？a2a5a3a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意
5、等差数列都适用吗？为什么？提示由an3n1可知a1a5a2a4与a2a5a3a4均成立，由此有若s，t，p，qN且stpq，则asatapaq.对于任意等差数列an，设其公差为d.则asata1(s1)da1(t1)d2a1(st2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因stpq，故asatapaq对任意等差数列都适用3在等差数列an中，2anan1an1(n2)成立吗？2anankank(nk0)是否成立？提示在2的结论中令st，pn1，qn1，可知2anan1an1成立；st，pnk，qnk，可知2anankank也成立例2(1)等差数列an，若a1a17为一确定常
6、数，则下列各式也为确定常数的是()Aa2a15Ba2a15Ca2a9a16Da2a9a16【解析】因为a1a17为一确定常数，又a1a17a2a162a9，所以a2a16a93a9为一确定常数，故选C.【答案】C(2)设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_【解析】方法一设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.方法二数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2
7、217a5b5，a5b535.【答案】35方法归纳1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若stpq，则asatapaq(s，t，p，qN)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立跟踪训练2(1)在公差为d的等差数列an中已知a2a3a23a2448，求a13.解析：方法一化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)48.4a1348.a1312.方法二根据已知条件a2
8、a3a23a2448，及a2a24a3a232a13.得4a1348，a1312.(2)已知数列an是等差数列，若a1a9a177，则a3a15等于()A7B14 C21D7(n1)解析：因为a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以a3a152a92714.答案：B(3)由公差d0的等差数列a1，a2，an组成一个新的数列a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是()A新数列不是等差数列B新数列是公差为d的等差数列C新数列是公差为2d的等差数列D新数列是公差为3d的等差数列解析：因为(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，所以数列a1a3，a2a4，
9、a3a5，是公差为2d的等差数列答案：C等差数列及其应用例3某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解析】设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1200，an1an20(nN)，每年的利润构成一个等差数列an，从而ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损由an22020n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损跟踪训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4
10、年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2024年8月在巴黎举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？解析：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，第n届的年份为an，则a1，a2，an，构成一个以a11896为首项，以d4为公差的等差数列，其通项公式为ana1(n1)d18964(n1)4n1892，即an4n1892，由an2024，知4n18922024，所以n33.故2024年举行的奥运会为第33届已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式ana1(n1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量灵活设元解等差数列例4已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数方法归纳1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列2当已知数列有2n项时，可设为a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为2d.3当已知数列有2n1项时，可设为and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为d.跟踪训练4三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数
