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1、4.5.3函数模型的应用学习目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性知识点一几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)知识点二应用函数模型解决问题的基本过程1审题弄清题意
2、，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；3求模求解数学模型，得出数学模型；4还原将数学结论还原为实际问题1在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型()2利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符()3用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了()一、指数型函数模型例1目前某县有100万人，经过x年后为y万人如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.012101.126 7，1.012111.140 2
3、，lg 1.20.079，lg 1.0120.005)(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)解(1)当x1时，y1001001.2%100(11.2%)；当x2时，y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；当x3时，y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3；.故y关于x的函数解析式为y100(11.2%)x(xN*)(2)当x10时，y100(11.2%)101001.01210112.7.故10年后该县约有112.
4、7万人(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100(11.2%)x120，解得xlog1.01216.故大约16年后该县的人口总数将达到120万反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式跟踪训练1一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减(已知：lg 0.50.301 0，lg 0.90.045 8)(1)求t年后，这种射放性元素的质量的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)解(1)最初的质量为500 g.经过1
5、年，500(110%)5000.9；经过2年，5000.92；所以t年后，5000.9t.(2)由题意得5000.9t250，即0.9t0.5，两边取以10为底的对数，得lg 0.9tlg 0.5，即tlg 0.9lg 0.5，所以t6.6.即这种放射性元素的半衰期为6.6年二、对数型函数模型例2我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v0，
6、代入题中公式，可得05log2，解得O10个单位(2)将耗氧量O80代入题中公式，得v5log25log2815(m/s)反思感悟有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义跟踪训练2“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数则当N40时，t_.(已知lg 50.699，lg 30.477)答案36.72解析当N40时，t144lg144lg144(lg 52lg 3)36.72.三、建立拟合
7、函数模型解决实际问题例3某纪念章从2019年1月6日起开始上市通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：yaxb；yax2bxc；yalogbx；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格解(1)随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中yaxb和yalogbx显然都是单调函数，不满足题意，用函数yax2bxc描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系(
8、2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入yax2bxc中，得解得yx210x126(x20)226.当x20时，y有最小值26.故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题跟踪训练3芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化
9、居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：t50110250Q150108150(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt，并说明理由；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本解(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Qatb，Qabt，Q
10、alogbt中的任意一个来反映时都应有a0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Qat2btc进行描述将表格所提供的三组数据分别代入函数Qat2btc，可得：解得a，b，c.所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数Qt2t.(2)当t150(天)时，芦荟种植成本最低为Q1502150100(元/10 kg)1一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A分段函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案A2某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123y13
11、8则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是()Ay2x1 Byx21Cy2x1 Dy1.5x22.5x2考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案D3国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0x500500 x1 0001 000x1 5001 500x2 000邮资y(元)5.006.007.008.00如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是()A5.00元 B6.00元 C7.00元 D8.00元答案C4据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系yalog3(x2)，观测发现2013年
12、冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬白鹤()A4 000只 B5 000只 C6 000只 D7 000只考点函数模型应用题点指数、对数函数模型的应用答案C解析当x1时，由3 000alog3(12)，得a3 000，所以到2019年冬，即第7年，y3 000log3(72)6 000.故选C.5某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(lg 20.301 0，lg 30.477 1)解每过滤一次可使杂质含量减少，则每过滤一次杂质含量将降为原来的，设过滤n次后杂质
13、含量不超过0.1%，则有2%n0.1%，即n7.4，又nN*，故n8，即至少应过滤8次，才能使产品达到市场要求1知识清单：(1)指数型函数模型(2)对数型函数模型2方法归纳：把实际问题转化为数学问题3常见误区：实际应用题易忘定义域和作答1某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()Ay2t By2t2Cyt3 Dylog2t答案D2若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()AyBy(0.957 6)100xCyxDy1考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案A3把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1()，空气的温度是T0()，以经过t分钟后物体的温度T()可由公式TT0(T1T0)e0.25t求得把温度是90 的物体，放在10 的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ，那么t的值约等于(参考数据：ln 31.099，ln 20.693)()A1.78 B2.77 C2.89 D4.40答案B4某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2018年5月1日1235 0002018年5月15日4835 60
