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1、重温代数学如果没有一些数学知识，那么就是对最简单的自然现象也很难理解什么，而要对自然的奥秘做更深入的探索，就必须同时地发展数学J.W.A.Young数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分。人类的进步是与科学思想极为一致的。数学和物理的研究是智慧进一步的一个可靠的记录。F.Cajori1. 初等数学回顾1. 主要内容。这里对初等数学作一简要回顾。孔子说：“温故而知新”。柏拉图说：“天下本无新事”。这是告诉我们，要从旧中找出新，从新中辩出旧。只有如此我们才能学得深、理解得透。初等数学的主要内容计有：算术，代数，几何，三角和解析几何。它们提供了最基本的数学知识和最基本的思维模式.这些内容清
2、楚地表明，数学是空间形式和数量关系的学科。那么，形与数的本质是什么？形：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养逻辑推理能力，培养洞察力。数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养符号运算能力。在学习数学的时候要注意数、形结合。已故著名数学家华罗庚对此非常重视。他曾写了一首词：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉， 形少数时难入微。数形结合百般好， 隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。数与形相结合，既有助于加深理解，也有助于记忆。在初等数学中，算术与代数以研究数量关系为主，几何与三角以研究空间形式为主。解析几何是数与形结合的典范。几何学教给我们逻辑推理的能力，代
3、数学教给我们数学演算的能力。在整个初等数学中代数占有更加重要的作用。2. 中学代数的主要内容。中学代数主要完成了那些成果呢？1）从数值运算过渡到符号运算。算术的特点是数值运算，代数的特点是符号运算。中学代数实现了从数值运算到符号运算的过渡，沿着抽象思维的道路走上了数学的更高级的阶段。但是，在中学代数中，符号代表的仍然是数。2）二元、三元一次线性方程组的解。三元一次线性方程组的一般形式是3 3 3 32 2 2 21 1 1 1a x b y c z da x b y c z da x b y c z d+ + =+ + =+ + =为了求解线性方程组，我们采用逐次消去一些未知量的方法以简化方程
4、组，这就是实施了下面的变换：1）互换两个方程的位置；2）把某一方程两边同乘一常数；3）某一方程加上另一方程的常数倍。这些变换称为初等变换。这样，在代数里第一次出现了变换的概念。一个简单而重要的事实是，线性方程组经过一系列初等变换,变成一个新的方程组，新的方2程组与原方程组同解,即，在初等变换下，方程组的解保持不变，或者说，解是初等变换下的不变量。由此，代数方程组给两个重要的概念：变换与不变量。由线性方程组的理论自然地引出了 2、3 阶矩阵和 2、3 阶行列式的概念，这些知识为将来学习线性代数做了准备。3求解一元二次方程。一元二次方程的一般形式是02ax + bx + c = 。设方程的根是 1
5、 2x , x ，我们有如下的重要结果：求根公式。ab b acx2421,2 = 。公式指出,借助系数的代数运算四则运算与开方运算可以表示方程根。一个自然的问题是,这种公式可以推广到任意高次方程吗?或者，任意高次方程的根通过系数的代数运算得到吗？答案是,这种公式限于 5 次以下的方程。韦达定理根与系数的关系：abx1+ x2= ，acx1x2= 。公式指出,可以用方程的根来表达方程式的系数。这种表示法可以推广吗？即，对任意高次方程，都有相应的公式吗？答案是，对任意n 次方程都有相应的公式成立。这种表示具有重大意义，为进一步研究方程的可解性提供了基础。4指数与对数。中学代数中引入了两个新的函数
6、：指数函数和对数函数。指数函数： xy = a (a 0, a 1, x 0, a 1,0 x ）。指数函数与对数函数互为反函数。5数学归纳法。初等代数中引入了数学归纳法，这是整个代数学中最基本的方法之一，因为代数中的许多定理是通过归纳手段得到的。下面的例子都是用数学归纳法证明：例 1。自然数的求和公式：2( 1)1 2 3+ + + + =n nL n 。例 2自然数平方的求和公式：( 1)(2 1)611 2 32 2 2 2+ + +L+ n = n n + n + 。这些公式都是对任意 n 成立的，而用数学归纳法却可以通过“有限”来解决“无限”的问题。6. 数系的结构。中学代数提供了：
7、最基本的运算：四则运算；乘方与开方运算；指数与对数运算。最基本的运算法则：结合律，分配律，交换律。加法的法则。1）加法结合律：a + (b + c) = (a + b) + c；32）加法交换律：a + b = b + a ；3）存在数 0，对一切实数a ，有0 + a = a ；4）对一切实数a ，存在实数b ，使b + a = 0。乘法的法则。1）法结合律：a(bc) = (ab)c；2）法交换律：ab = baa) 存在数 1，对一切实数a ，有1 a = a；b) 对一切非零实数a ，存在实数b ，使ab = 1。3）加法与乘法的分配律：对容易实数a, b, c 有a(b + c) =
8、 ab + ac。用抽象的语言说，全体实数构成一个集合，这个集合内有加法和乘法两种运算，这两种运算遵循上述九条法则。中学代数就是以它为基础展开的。认识到这一点对学习代数中较深入的知识是至关重要的。因为近世代数的主要内容是集合,以及集合上的代数运算,并且在同构下进行考察.小结。初等代数为学生将来学习更高级的数学做了很好的准备。它完成了四项任务：1）实现了从数值运算到符号运算的过渡；2）开启了变换的思想，暗示了不变量的存在；3）引入了数学归纳法，给出了通过“有限”来解决“无限”问题的一种方法。4）给出了研究数系结构的实例，为进一步研究代数结构做了准备。2。代数学简史 什么是代数？它的基本问题是什么
9、？要回答这些问题，需要进行历史的考察。代数学是数学中的一个历史悠久的重要分支，它的研究对象、方法和中心问题都经历了重大的变化。代数学的发展分为三个不同的时期。在三个不同的时期内，人们将三个很不相同的东西理解为代数学。1. 代数学的诞生。第一个时期要追溯到公元 9 世纪。阿拉伯数学家穆罕默德. 阿里. 花拉子米最重要的著作代数学是代数学的开始。英文”algebra”一词就来自此书。而中文“代数”一词则是清朝著名数学家李善兰（18111882）首创的译名，并一直沿用到今天。花拉子米的著作对代数思想和符号的建立有重要影响.二次方程巴比伦人已经会解了。三次方程和四次方程的解法要困难得多，直到十六世纪初
10、，才由意大利数学家所解决。三次方程和四次方程的解出具有重大意义：1)。文艺复兴时代的数学第一次超过了古代的成就。这就鼓舞了后面的数学家用根式解五次以上的代数方程。2)解三次方程引出了复数。15 世纪结束时,开始使用现代符号，到 17 世纪中叶已经基本完备。它标志着代数学”史前时期”的结束.从这个时期起，数学家把代数看成是字母计算，关于字母构成的公式的变换以及代数方程等的科学。在这一时期，除了解方程以外，许多其他课题也引起他们的兴趣。例如，各4种代数式的运算和因式分解，二项式的展开公式，构造各种有用的恒等式，各种级数的求和，特别是前n 个自然数的方幂和等等，都进入代数学的研究范围。这时期的另一个
11、重要成就是对数的创始，它的创始者是苏格兰英国的纳皮尔（John Napier 15501617）。2代数方程式论。18 和 19 世纪,代数学处理的主要问题是一元n 次方程的求根问题.人们试图遵循三、四次方程求解方法的思路去寻求五次以上方程的解法，但都遭到失败，以致在 17，18 世纪期间代数学处于沉寂的状况。这个时期的一个重要成果是吉拉尔（Albert Girard 15901633）于 1629 年提出的代数基本定理，但他没有给出证明。证明是 200 年后高斯给出的。一元高次方程是一个较难的课题。在这个课题屡遭挫折的同时，数学家们在较 容 易 的 多 元 线 性 方 程 组 的 研 究 中
12、 取 得 了 进 展 。 苏 格 兰 数 学 家 麦 克 劳 林（Maclaurin Colin 16981746）和日本数学家关孝和（16421708）分别提出了行列式的概念。瑞士数学家克莱姆（Cramer Gabriel 17041752）在 1750年研究如何由一条代数曲线上已知点的坐标来确定该曲线方程的系数时，给出了n 元联立线性方程组的公式，即克莱姆法则。这样，线性代数就诞生了。阿贝尔的发现。1824 年，天才的挪威数学家阿贝尔（Abel Niels Henrik 18021829）证明了：如果方程01+ 1+ + =nn nx a x L a的次数 n 5，并且系数 a a an,
13、 , , 1 2 L 看成是字母，那么任何一个由这些系数组成的根式不可能是方程的根。原来一切伟大的数学家三个世纪以来用根号去解五次或更高次数的方程所以不能成功，其原因是这个问题根本没有解。然而这并不是问题的全部，代数方程的理论的最美妙之处仍然留在前面。问题在于有多少种特殊形式的方程能用根式求解，而这些方程又恰恰有多方面的应用。例如，二项方程 x ap= 就可用根式求解。于是，用根号解方程的问题在新的基础上提出来了：找出方程能用根号解出的充分与必要的条件。伽罗瓦理论。这个问题是由天才的法国数学家埃. 伽罗瓦（E.Galois 18111832）解决的。他在 21 岁时与人决斗而死。决斗前夜，他写
14、了绝笔信，整理了他的数学手稿，概述了他得到的主要成果。他的最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题：给出了方程能用根号解出的充分与必要的条件。而且由此发展了一整套关于群和域的理论。为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。3代数系统。19 世纪早期发生在代数学的革命是，远离计算，朝着数学基础结构的识别和使用的方向发展。从根本上说，任何一个数学体系都是一种逻辑结构，对这些结构进行研究才是理解数学体系本身的最直接的方法。因此，代数学的核心研究对象不应当是代数方程，而应当是各类代数系统。这些研究为代数学在 19 世纪末向近代发展转移开辟了道路,而近代发展阶段是对以前各孤立的代数学概念在共同的公理基础上进行提炼.这样,第三个关于代数是什么的观念是，代数的目的是研究各种代数系统，这就是公理化的抽象的代数。重要之点仅仅是，在所考虑的系统里运算满足什么样的公理。有趣的是，这样的代数系统无论就数5学本身或它的应用都具有巨大的意义。4. 代数沿着两条轨道前进。计算机诞生后，人类的计算能力大大提高，过去无法实现的计算，现在都变得轻而易举了。这对工业和技术尤其重要。从而，使当代代数学沿着两条轨道前进。一条是走向更高层的抽象理论。另一条是走向更具体的计算方法。3。符号代数的发展.微积分诞生前的两个重大事件是，符号代
