02数形结合的思想方法.doc

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1、专题二：数形结合的思想方法【考情预测】1、重要内容：数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题途径，使问题得到解决。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数形结合是一种数学思想方法，所涉及的主要内容有：（1）图形与符号、图形与文字的互译；（2）充分利用图像研究函数特性；（3）向量中相关问题的解决与应用；（4）函数图像与方程，不等式的解集间的联系；（5）圆锥曲线图形与方程，定义间的内在联系；（6）三角函数图像的特征。数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合

2、其图像求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；（3）构造函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；（4）构建立体几何模型研究代数问题；（5）构建解析几何模型研究最值问题；（6）构造方程模型，求解的个数；（7）研究图形的形状、位置关系、性质等。在运用数学结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；（2）要恰当引参合理用参，建立关系，做好转化；（3）要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；（4）精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于求解问题。2、命题回顾：广东省近四年

3、来高考试题涉及数形结合思想方法题量与分值对照一览表年份题量分值2004年题10，12，15，18，2039分2005年题4，9，14，16，17，2051分2006年题4，7，9，1727分2007年题4，6，7，15，17，1944分3、命题展望：数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效。因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点。关于数形结合的重要性，可以引用著名数学家华罗庚先生的话再次说明：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离。”【

4、典型例题】【例1】（1）（2007年海南宁夏）函数在区间的简图是（ ）xyODxyOBxyOAxyOC（2）函数的图像大致是（ ）【解析】（1）令，则，排除B，D；再令，则，故选A。（2）函数关于直线对称，排除A，D；又时，函数单调递增，故选B。【答案】（1）A；（2）B【点评】已知函数解析式寻找函数图像的试题，关键是结合图像研究关键点的函数值，采用排除法，一步步得到正确答案。体现了数形结合思想方法的应用。【例2】（1）（2007年山东）设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是 。（2）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱

5、需耗一级子棉1吨，二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨，二级子棉不超过250吨。甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大，并求最大利润。【解析】（1）先画出平面区域与直线，如图所示：由图易知，中的点到直线距离的最大值就是点A到直线的距离，而A点的坐标为方程组的解，即，则所求距离最大值为：。（2）将已知数据列成下表：资源消耗量产品甲种棉纱（1吨）乙种棉纱（1吨）资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）600900设生产甲、乙两种棉纱分别为吨、吨，利润总额为元，

6、则目标函数，线性约束条件为，作出可行域，如图阴影部分：把变形为平行直线系，由图可知，当经过可行域上的点时，截距最大，解方程组，得的坐标为，当过点时，。所以，应生产甲种棉纱吨，乙种棉纱吨，能使利润总额达最大值元。【点评】线性规划试题，就是一类体现数形结合思想方法的题型。解题的关键在于画出正确的可行域，然后结合可行域特点寻找符合题设的元素。【例3】已知向量，则与的夹角的取值范围是（ ）A、；B、；C、；D、【解析】本题用常规化简的方法处理相当麻烦，可采用数形结合方法。事实上，点在轴上，点在以为圆心，半径为的圆上，过原点作此圆的切线，倾斜角分别为、（易求，故。），则范围为，选D。【点评】理解向量的几

7、何表示，借助数形结合的思想方法，可避开复杂的分析与计算，从而直观地得到结果，提高解题效率。【例4】已知实数满足，求的取值范围。【解析】把变形为，其几何意义为：以为圆心，1为半径的圆。设，其几何意义为：圆上的点与点连线的斜率。将变形为，则圆心到直线的距离，解得，的取值范围为。【点评】所给的限制条件与所求式子如果能够找到它的几何意义，你会发现，用数形结合的解题思想来解这类问题，既准确又过程简单。OyDAFx【例5】（1）已知点，在双曲线上求一点，其坐标为 时，使最小。（2）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 。【解析】（1）如图

8、，易知点在双曲线的右支内，则由双曲线的第二定义知：若使最小，只需（是到相应准线的距离）最小，过点作右准线的垂线，则与双曲线右支的交点即为所求点。（2）根据直线与渐近线斜率的大小关系，从而。【点评】解析结合问题的解决，常用数形结合的思想方法。*【例6】（2007年广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B.C.D四个维修点的某种配件各50件，在A使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）A、15；B、16；C

9、、17；D、18【解析】A到D调动10件，需要10次；B到C调动5件，需要5次；C到D调动1件，需要1次，此时完成调动，共需16次，选B。【点评】此题结合图形，可以轻易选到正确答案。【能力强化】1、设平面向量的和，如果平面向量满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）A、；B、；C、；D、2、若满足条件，则的最大值是（ ）A、11；B、10；C、9；D、83、若，则（ ）A、；B、；C、；D、4、设全集，集合，那么等于（ ）A、；B、；C、；D、5、方程的实根的个数是 个。6、在圆心为的扇形中，以圆心为起点作射线，则使得的概率为 。7、设二次方程有二相异实根，若（1）一根大于2，另一根小于2；

10、（2）一根大于2，另一根小于0；（3）二根都大于0。试分别求实数的取值范围。8、如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面。（1）证明平面；（2）求面与面所成的二面角的大小。9、已知函数。（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围。【拓展思维】10、设。（1）指出的单调区间；（2）求出的最值。【参考答案】1、【答案】D【解析】可以数形结合地认为是一种“平衡”，相应地各自模放大2倍，且都朝同方向旋转，仍不失“平衡”，即，故选D。2、【答案】A【解析】如图画出平面可行域，设，画出直线，当变化时，在可行域内平移，平移到过点（即两直线交点）时，最大，。故选A。

11、3、【答案】B【解析】由对数函数函数值的分布易求，由，结合图像的叠加得到。故选B。4、【答案】B【解析】由图集合表示直线上除点外的部分，集合表示坐标平面内除直线外的部分，所以表示坐标平面内除点外的部分，所以答案选B。5、【答案】3【解析】画出及的图像，如图所示。的最大值为1，过点，由单调性得有3个交点。6、【答案】【解析】设弧长，依题意有，画出可行域后，可得所求概率为。x12x2x10x22x1x207、【解析】设，由题意，分别作草图如下：数形结合得：（1）；（2）；（3）。8、【解析】以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系。*（1）不妨设作，则，。由，得。 又因而与平面内两条相交直线，都垂直。

12、 平面。（2）设为中点，则，由，得，又。因此，是所求二面角的平面角，。解得所求二面角的大小为。9、【解析】（1）当时，由函数的图像（如图），易知函数在区间上递增，从而函数在区间上递增，所以。（2）恒成立恒成立，且抛物线在区间显然是递增的，即有。当且仅当时，在区间上恒成立，从而时，在区间上恒成立。10、【解析】（1）把看作两函数，之差，在同一坐标系里分别作出这两个函数的图像，并直观考察的值的变化情况（如图所示）。作的平行线，使之与半圆相切，切点为，连接，易见，可见点坐标为。结合图形不难发现，当值从逐渐增大到时，逐渐减小；当的值从逐渐增大到1时，逐渐增大。的减函数区间为；增函数区间为。（2）的最小

13、值为（当时取得），最大值为3（当时取得）。专题二：数形结合的思想方法DACB1、已知正方形的边长为1，设，则向量的模是（ ）A、5；B、6；C、7；D、82、设，且，那么的最大值是（ ）A、；B、；C、；D、3、函数是（ ）A、非奇非偶函数，且在区间递减；B、非奇非偶函数，且在区间递增；C、偶函数，且在区间递减；D、偶函数，且在区间递增4、若函数在区间上的图像是连续不断的曲线，且方程在上仅有一个实数根0，则的值是（ ）A、大于0；B、小于0；C、无法判断；D、05、函数的单调增区间是（ ）A、和；B、和；C、和；D、和6、函数的最大值为 。7、已知直线与圆交于两点，且，则实数的值等于 。8、已

14、知，且满足。求：（1）的取值范围；（2）的最大值；（3）的最小值。9、已知二次函数。（1）若，且，证明有两个零点；（2）在（1）的条件下，是否存在，使得成立时，为正数？请说明理由；（3）若对，且，方程有两个不等实根，证明必有一个在内。【参考答案】1、【答案】A【解析】，故，选A。2、【答案】D*【解析】注意满足的动点是在以为圆心，以为半径的圆周上，于是，只需求斜率的最大值。3、【答案】D【解析】易知是偶函数，且当时，是递增的。4、【答案】C【解析】在上的实根具体位置不确定，可举反例如符合条件，与同号；如符合条件，与异号。5、【答案】A【解析】，可解不等式解决。也可画出函数的图像，由应用函数中自变量与函数值同号。6、【答案】1【解析】可以与两点连线的斜率联系起来，它实际上是点与点连线的斜率，而点在单位圆上移动，问题变为：求单位圆上的点与连线斜率的最大值。