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1、网络构建归纳整合专题突破素养提升目录索引网络构建归纳整合专题突破素养提升专题一常见概率类型及求法专题一常见概率类型及求法常见的概率问题多为求条件概率或相互独立事件的概率以及利用全概率公式求概率.对于一些复杂事件,我们往往需要先将该事件分解成若干个互斥事件的和,然后利用互斥事件加法公式求解,考查的核心素养为逻辑推理和数学建模.角度1.条件概率的应用【例1】有一批灯泡,寿命超过500小时的概率为0.9,寿命超过800小时的概率为0.8,在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为.解析记“寿命超过500小时”为事件A,“寿命超过800小时”为事件B,则所求事件为B|A,因为BA,所以A
2、B=B.又因为P(A)=0.9,P(AB)=P(B)=0.8,规律方法规律方法1.关键:理清条件和结论,建立条件概率模型;2.注意:事件AB的含义;变式训练变式训练1盒中有10个零件,其中8个是合格品,2个是不合格品,不放回地抽取2次,每次抽1个.已知第一次抽出的是合格品,则第二次抽出的是合格品的概率是()C解析第一次抽出的是合格品,则还有9个零件,其中7个为合格品,故第二次抽出的是合格品的概率是 ,故选C.角度2.互斥事件与相互独立事件的概率【例2】小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影
3、响.求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率;(3)这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.解(1)设这三列火车恰好有两列正点到达的概率为p1:p1=0.80.70.1+0.80.30.9+0.20.70.9=0.398.(2)设这三列火车至少有一列正点到达的概率为p2:p2=1-0.20.30.1=0.994.(3)设这三列火车恰有一列火车正点到达的概率为p3:p3=0.80.30.1+0.20.70.1+0.20.30.9=0.092.规律方法规律方法本题求解的关键是将复杂的事件分解为简单事件的和或积,这个过程体现了转化与化归的数学思想以及逻辑推
4、理的核心素养,同时通过利用概率的加法、乘法公式计算概率体现了数学运算的核心素养.变式训练变式训练2某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响,求该选手被淘汰的概率.角度3.全概率公式的应用【例3】甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件
5、B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.规律方法规律方法通过本例我们发现,当不好直接求事件A发生的概率时,可以采用化整为零的方式,即把事件A分解,然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.变式训练变式训练3同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.9,0.8,三家产品数所占比例为235,将三家产品混合在一起.(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;(2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?解
6、设事件A表示“取到的产品为正品”,B1表示“产品由甲厂生产”,B2表示“产品由乙厂生产”,B3表示“产品由丙厂生产”,由已知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.专题二离散型随机变量的分布列、期望与方差专题二离散型随机变量的分布列、期望与方差【例4】甲、乙、丙三支足球队进行比赛,根据规则:每支队伍比赛两场,共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.已知乙队胜丙队的概率为 ,甲队获得第一名的概率为 ,乙队获得第一名的概率为 .(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1,P2;(2)设在该次比赛中
7、,甲队得分为,求的分布列及其均值、方差.变式训练变式训练4某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛,分别由正、副队长负责,已知该校辩论队共有10位成员(包含正、副队长),每场比赛除负责人外均另需3位队员(同一队员可同时参加两天的比赛,正、副队长只能参加一场比赛).假设正、副队长分别将各自比赛的通知信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位,且所发信息都能收到.(1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率;(2)设辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为X,求X的分布列及其数学期望和方差.专题三几种重要分布专题三几种重要分布本章学习的四种重要的概率分布是考试的重点,即
8、两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布,其中二项分布和超几何分布尤为重要,并且容易混淆,必须根据问题情境作出正确的判断,考查的数学核心素养为数学建模和逻辑推理.角度1.二项分布【例5】已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为 ,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,如果某次没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一小组做了3次试验,记该小组试验成功的次数为X,求X的分布列;(2)第二小组进行试验,到成功了4次为止,求在第4次成功之前共有3次失败的概率.(2)第二小组第7次试验成功,前面6次试验中有3次失败,3次成功,每次试验又是相互独立的,
9、因此所求概率为规律方法规律方法解决二项分布问题的步骤 变式训练变式训练52023广西北海高二统考期末现有甲、乙两名篮球运动员,甲、乙两人各投篮一次,投中的概率分别为 ,假设每次投篮是否投中,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲投篮3次,至少有2次未投中的概率;(2)求两人各投篮2次,甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率;(3)设乙单独投篮3次,用表示投中的次数,求的分布列和数学期望.解(1)记“甲投篮3次至少有2次未投中”为事件A1,由题意知投篮3次,相当于3次独立重复试验,(2)记“甲投篮2次,恰有2次投中”为事件A2,“乙投篮2次,恰有1次投中”为事件B2,角度2.超几何分布【
10、例6】在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列;(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1A2A3,规律方法规律方法1.在超几何分布中,随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的,明确每一个事件的意义是正确解答此类问题的关键.2.超几何分布具有广泛的应用,它可以用来描述产品抽样中的
11、次品数的分布规律,也可用来研究我们熟悉的抽奖或摸球游戏中的某些概率问题.在其概率的表达式中,各个字母的含义在不同的背景下会有所不同.变式训练变式训练6盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球、3个白色球、4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有一个红色球的概率;(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(3)设为取出的3个球中白色球的个数,求的分布列.角度3.正态分布【例7】某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布XN(500,502),请估计考生成绩(单位:分)X在区间(550,60
12、0的人数.规律方法规律方法正态分布的概率通常有以下两种解法:(1)“3原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性,体现了数形结合的重要思想,因此可以运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题.变式训练变式训练7据调查统计,某市高二学生中男生的身高X(单位:cm)服从正态分布N(174,9).若该市共有高二男生3 000人,试估计该市高二男生身高在(174,180范围内的人数.解因为身高XN(174,9),所以=174,=3,所以-2=174-23=168,+2=174+23=180,所以身高在(168,180范围内的概率为0.954 4.又因为=174,所以身高在(168,174和(174,180范围内的概率相等,均为0.477 2,故该市高二男生身高在(174,180范围内的人数约是3 0000.477 21 431(人).
