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1、课程标准1.进一步理解等比数列的定义、通项公式及前n项和;2.理解等比数列的性质、等比数列前n项和的性质的应用;3.掌握数列求和的常用方法错位相减法.重难探究能力素养全提升成果验收课堂达标检测目录索引重难探究能力素养全提升探究点一等比数列的基本运算探究点一等比数列的基本运算【例1】已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.解设前两个数分别为a,b,则第三、四个数分别为36-b,37-a,规律方法规律方法等比数列运算的求解策略解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过
2、程.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.变式训练1人教A版教材习题已知三个数成等比数列,它们的和等于14,积等于64.求这个等比数列的首项和公比.(方法三)设这个数列为an,公比为q,当q=1时,不符合题意,所以q1.探究点二错位相减法求和探究点二错位相减法求和【例2】2023江苏南京高三专题练习在数列an中,a1=1,an+1=an-2anan+1.(2)解由(1)知bn=(2n-1)3n,Sn=13+332+533+734+(2n-1)3n,3Sn=132+333+534+735+(2n-1)3n+1,两式相减得-2Sn=3+
3、232+233+234+23n-(2n-1)3n+1=3+3n+1-9-(2n-1)3n+1=2(1-n)3n+1-6,Sn=(n-1)3n+1+3.规律方法规律方法错位相减法求和的技巧对于形如Cn=anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)的数列求和均可用错位相减法.运用此法时,一定要明确谁与谁对应以及项数、角标等问题,该方法虽不难理解,但对运算能力要求较高,并且最后要注意检验,简单的操作方法是赋特殊值法.探究点探究点三三an+1=pan+q(p1)型数列的构造与型数列的构造与证明证明【例3】人教A版教材习题若数列an的首项a1=1,且满足an+1=2an+1,求数列an的通项公式及前1
4、0项的和.解 由an+1=2an+1,可得an+10,an+1+1=2(an+1),数列an+1是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,an+1=22n-1=2n,即an=2n-1,规律方法规律方法一般地,可根据递推公式的特点将其进行变形,变为我们所熟悉的数列来解决.对于形如an+1=pan+q(p1)的递推公式,可设出形式探究点探究点四四已知已知Sn求求an【例4】(1)已知等比数列的前n项和为Sn=(1-2)+2n,则=()A.-1B.1C.2D.3B解析当q=1时,a1=S1=(1-2)+2=1,则Sn=n,显然与题设不符,q1,(2)人教A版教材习题已知数列an的前n项和为Sn,若S
5、n=2an+1,求Sn.解(方法一)因为Sn=2an+1,当n=1时,a1=S1=2a1+1,所以a1=-1;当n2时,Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-2an-1,所以an是首项为-1,公比为2的等比数列,所以an=a1qn-1=(-1)2n-1=-2n-1.所以Sn=2an+1=2(-2n-1)+1=-2n+1.规律方法规律方法1.已知数列an的前n项和为Sn,Sn=qn+(0),若数列an为等比数列,则+=0.2.若数列an的前n项和为Sn,Sn=kan+b(k0,k1),则此时数列an为等比数列.(方法二)因为Sn=2an+1,当n=1
6、时,S1=2S1+1,所以S1=-1;当n2时,Sn=2(Sn-Sn-1)+1,所以Sn=2Sn-1-1,所以Sn-1=2(Sn-1-1),所以Sn-1=(-2)2n-1=-2n,所以Sn=-2n+1.变式训练3(1)记数列an的前n项和为Sn,Sn=2an-1,则S2 023=()A.22 022-1 B.22 023-1B解析依题意,Sn=2an-1,当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1;当n2时,由Sn=2an-1得Sn-1=2an-1-1,两式相减并化简得an=2an-1.故数列an是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.(2)2023上海徐汇高二期末已知等比数列an
7、的前n项和为Sn,Sn=7n-1+k,则实数k=.解析当n=1时,a1=S1=k+1.当n2时,an=Sn-Sn-1=(7n-1+k)-(7n-2+k)=67n-2,成果验收课堂达标检测12341.设数列an的前n项和为Sn,Sn+an=1.若 ,则m=()A.2B.4C.6D.8D12342.已知数列an中,a1=1,an+1=2an+3,则an=.2n+1-3 解析因为an+1=2an+3,所以数列an+3是以a1+3=4为首项,2为公比的等比数列,所以an+3=42n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.12343.设等比数列an的前n项和为Sn,且a5=S5,则S2 022=.0解析根据数列前n项和的定义知S5=a1+a2+a3+a4+a5=a5,故a1+a2+a3+a4=0,即a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)=0,从而1+q=0,q=-1,所以这个等比数列的相邻两项的和都是0,所以S2 022=0.12344.人教A版教材习题改编数列an的通项公式为an=nxn-1(x0),求an的前n项和Sn.
