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1、等腰梯形的性质及证明教案设计：黄晓斌课题等 腰 梯 形 的 性 质 及 证 明教材简介等腰梯形与直角梯形是并列的梯形，梯形与平行四边形又是并列的四边形。等腰梯形的性质是梯形问题的重点，深刻的理解等腰梯形的性质，有助于知识的内化，有助于形成知识系统，有助于发展学生的数学思维。教学目标1. 使学生掌握等腰梯形的性质定理及证明。2. 使学生理解适当的添加辅助线是解决问题的关键。3. 使学生理解几何问题中转化的数学思想。教学重点：等腰梯形的性质。教学难点：1等腰梯形的性质。2.添加辅助线进行问题的转化。教学关键：准确（适当）地添加辅助线。教学方法：启发引导 探索发现教学用具：教学多媒体教 学 内 容设
2、 计 意 图教学过程一、 创设问题情境，鼓励学生讨论:1 什么是等腰三角形？有什么性质？2 什么是等腰梯形？3 等腰梯形与等腰三角形比较，等腰梯形有什么性质？（猜想）（板书课题：等腰梯形的性质定理及证明）二、 问题类比，提出猜想：将学生分组，讨论上述第三个问题。很快得出一个猜想（命题）：命题：等腰梯形在同一底上的两个角相等。（学生对命题的叙述不一定准确，教师引导学生得出叙述准确的命题，并提出应对命题的正确性加以证明。）三、 分析探索、寻求证明：已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC,AB=DC求证：B=C启发与思考：问题一：证明两角相等通常采用什么办法？创设问题情境，鼓励学生讨论中的三个问题由
3、教学多媒体集成。1.是起到创设问题情景的作用。2.是为了引入新课。分组讨论，进行问题类比是为学生创造合作的学习环境，提供探索问题的方法。并使学生在类比中产生直觉思维（建立猜想）。教学过程（可能的答案：1.证明所在的两三角形全等。2.证明是等腰三角形。3证角平分线，等等。） 依据学生的回答，让学生观察图形，发现可能采用的证法与所给的已知条件相距甚远。因此，引出新的问题：问题二：对于研究新问题（未知的、复杂的问题），通常采用什么数学思想解决？(回答是肯定的：“转化”的思想。也就是将未知的转化为已知的，将复杂的图形转化为熟悉的基本图形进行研究。)问题三：怎样转化？(添加辅助线。)问题四：怎样添加辅助
4、线？可以将问题转化为大家熟悉的图形，并利用已知图形的性质及已知条件进行证明和研究。这个问题是教学中的难点和关键，为突破这个教学难点，教学中必须注意引导学生联系问题一中所提到的方案，即添加辅助线后能将梯形问题转化为问题一中所涉及的已知（熟悉的）图形，或者是转化后能将分散的、没有联系的条件聚拢到一起，建立直接联系。并利用已知图形的性质及已知条件进行证明。教学中将学生分组讨论，并证明。可能的添法：(一)、过梯形的顶点作腰的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形。如图所示: AD A D CBEC B E CA D E E A D B C B C(二)、过上底的端点作下底的垂线或过下底的端点作
5、上底延长线的垂线。如图所示：A D E A D F B E F C B C在实际教学中，估计学生可以很容易的填出（一）中的前两种、(二)中的第一种，其它情况可由教师引导填出。教学中一定要注意添加辅助线是关键，要注意学生的思维过程，引导学生克服思维障碍。引出辅助线后，证明比较简单，可由小组推荐代表到黑板板演，比一比那个组的证法最规范。下面的证明是针对第一种情况第一个图的证明，其它情况的证明略。启发与思考中设计了五个问题，旨在引导学生应用正确的方法证明猜想；并引导学生在对问题探索过程中发现规律、总结规律；第三是引导学生在探索过程中养成良好的思维习惯和思维方法；第四是使学生的直觉思维（猜想、感性的）
6、上升为形象思维(正确、理性的)。其中问题一是引导学生运用分析法（执果索因）探索证明方法，并使学生领会这一常用的数学方法。问题二是使学生重温“转化”这一重要的数学思想；使学生的探索在正确的思想指导下进行；并且可以自然的引出下面的问题。问题三是引导学生发现解决“转化”的途径和方法。问题四是一个开放性的问题，同时是教学中的难点和关键，所以提出这个问题是必然的。第二是通过对这个开放性的问题的探索，可以很好的培养学生的发散思维，可以很好的培养学生的数学能力。第三可以使学生在探索中发现研究梯教学过程 证明：如图，过点D作DEAB,交BC于点E。 B=DECADBC AB=DE 又AB=DC DE=DC D
7、EC=C B=C问题五：上述证明中的辅助线是如何将问题转化的？(教师引导学生总结。) 第一种添加辅助线的方法：1 可理解为将梯形转化为平行四边形和等腰三角形来研究。2 可理解为将梯形的一腰平移，使这个腰与另一个腰产生直接联系（构成等腰三角形）。这两种方法均可用问题一中的2进行证明。第二种添加辅助线的方法：可理解为构造两个三角形，并证明这两个三角形全等，从而使问题得证。四、巩固练习，促进知识正迁移：已知：如图，梯形ABCD, A DADBC, B=C求证：AB=CD B C启发与思考：1 是不是可以类比性质定理的方法进行证明？2 都有什么方法？（重点突出如何添加辅助线）学生很容易将性质定理证明的
8、方法迁移到此题，会得出许多证法。除此以外，可以引导学生如下图的方法添加辅助线进行证明。 E证明可由学生完成。 A D证明略 B C五、 总结规律，促使知识内化：a) 注意“转化”的数学思想，并能够应用它。b) 注意研究梯形问题中常见的添加辅助线的一般规律。（问题四及练习中的方法。）c) 注意学会分析问题、解决问题的一般性方法。六、 作业：a) 阅读教材。总结在梯形问题中常用的转化方法。（即怎样添加辅助线，为什么这样添加？）形问题常用的添加辅助线的规律， 并使学生形成研究梯形问题的基本技能。问题五是使学生理解添加辅助线的实质，并引导学生总结在一般情况下添加辅助线的规律，促使知识内化，从而使学生在
9、探索中获得的认识上升为理性认识。第二是使发散的思维转向聚拢。巩固练习的实质是等腰梯形的判定定理的证明。因为其证明与性质定理的证明类似，引用它可以促使知识的正迁移，使知识与技能及时得到巩固和深化。其次是为下节判定定理的教学打下伏笔。总结的目的是为了突出规律，使学生掌握解决问题的一般性的方法。 作业的目的与总结的目的相同。设 计 说 明：1本课案设计教学时间为一课时。2本节课案的教学设计立足于“探究发现式”教学模式。3本课案力求突出三条线：问题线、探究线和思维线。以问题激发学生的求知欲望，使学生建立猜想（直觉），并带领学生一步步深入探究，以问题引导学生的思维发散和聚拢，并使学生在探索过程中获取的认
10、识上升为理性认识。也就是使学生掌握研究梯形问题的一般规律和方法，也就是使学生掌握运用分析法、运用转化的思想解决梯形问题，从而使学生掌握梯形问题中添加辅助线的一般规律和方法。4本课案设计的实质是想培养学生良好的思维习惯，即培养学生思维的深刻性、灵活性及批判性；培养学生分析问题、解决问题的数学能力；培养学生勇于探索的精神，提高学生的探究能力，也就是使学生具有一定的创新精神和实践能力。5本课案的另一个想法是使学生学会合作学习，使学习成绩在合作中提高，使学生在合作中获得成功，使学生在合作中体会成就感。板 书 设 计：4.8等腰梯形的性质定理及证明一、 设问题情境:二、 问题类比，提出猜想：三、 分析探索、寻求证明：四、 巩固练习，促进知识正迁移：五、 总结规律：六、作业：教 学 后 记：注意：处理有关梯形问题的基本思路是：用化归、分割、拼接成三角形或平行四边形的问题来解决。
