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1、网络构建归纳整合专题突破素养提升目录索引网络构建归纳整合专题突破素养提升专题一求直线或圆的方程专题一求直线或圆的方程通过直线与圆的方程的求解可提升学生数学运算的学科素养,从而借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成程序化思考问题的品质.【例1】圆C的圆心在直线l1:x-y-1=0上,与直线l2:4x+3y+14=0相切,且截直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6,求圆C的方程.规律方法规律方法确定圆的方程的主要方法一是定义法,二是待定系数法.定义法主要是利用直线和圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而得出圆的标准方程;待定系数法则是设出圆的方程(多为一般式),再根据题目条
2、件列方程(组)求出待定的系数.变式训练变式训练1已知直线l经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l的方程为()A.-3x+2y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0D.2x-3y+1=0C专题二与圆有关的最值问题专题二与圆有关的最值问题通过建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,来解决与圆有关的斜率、截距、距离等最值问题.【例2】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.规律方法规律方法解决与圆有关
3、的最值问题的常用方法(1)形如 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.变式训练变式训练2已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上.(1)求 的最大值和最小值;(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示点P与A(-1,0)的距离的平方加上2.连接AC,交圆C于B,延长AC,交圆C于D(图略),AD为最长,且为|AC|+r=5+2=7,
4、则x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.专题三直线与圆的位置关系的相关问题专题三直线与圆的位置关系的相关问题直线与圆位置关系的判断方法有两种,其一为几何法,按圆心到直线的距离为d与圆的半径长为r的大小关系来划分三种位置关系;其二是代数法,联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,根据判别式的符号来划分.这两种方法以几何法为主.研究直线与圆的位置关系,集中体现了直观想象和数学运算的核心素养.【例3】已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)当mR时,证明直线l与圆C总相交;(2)
5、m取何值时,直线l被圆C截得的弦长最短?并求此弦长.(1)证明直线的方程可化为y+3=2m(x-4),由直线方程的点斜式可知,直线恒过点P(4,-3).由于42+(-3)2-64+12(-3)+20=-150),连接EA,EC,AC,则|EA|=|EC|=5.规律方法规律方法1.解决直线与圆的实际应用题的步骤 2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.(3)尽量使已知点位于坐标轴上.变式训练变式训练4某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为6 m,行车道总宽度BC为2 m,侧墙面高EA,FD为2 m,弧顶高MN为5 m.(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程;(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.解(1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1 m为单位长度建立平面直角坐标系xOy,则E(-3 ,0),F(3 ,0),M(0,3),由于所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=r2,因为F,M在圆上,所以
