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1、数学分析I第14讲教案第14讲 柯西中值定理与洛必达法则授课题目柯西中值定理与洛必达法则教学内容1. 柯西中值定理；2. 洛必达法则教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限, 掌握洛必达法则型定理的证明.教学重点及难点教学重点：洛必达法则求各种不定式极限；教学难点：洛必达法则定理的证明.教学方法及教材处理提示(1) 本讲的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限，特别强调洛必达法则在极限计算中的重要性，是计算极限的一种常用的有效方法.(2)采用讲练结合的授课方式，通过举例的形式，总结和归纳求各种不定式极限的方法，使每一位学生都能掌握此法则(
2、3) 本讲的难点是洛必达法则定理的证明，特别是 型的证明，但要求学生掌握洛必达法则 型定理的证明(4) 了解柯西中值定理.作业布置作业内容：教材 :2，3，5（2，4，6，8，10，12），7（5，8）.讲授内容一、柯西中值定理定理6.5(柯西（cauchy）中值定理) 设函数和满足 (i)在上都连续；(ii)在()上都可导；(iii)不同时为零；(iv) 则存在使得 证：作辅助函数易见在)上满足罗尔定理条件，故存在，使得因为 (否则由上式也为零)，所以得证. 例1 设函数在a,b上连续，在()内可导，则存在，使得 证：设，显然它在上与一起满足柯西中值定理条件，于是存在)，使得 整理便得所要证
3、明的等式二、不定式极限 现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达(LHospital)法则 1型不定式极限定理6.6 若函数和满足：(i)；(ii)在点的某空心邻域内两者都可导，且；(A可为实数，也可为或，则 证：补充定义，使得与在点处连续任取，在区间 (或上应用柯西中值定理，有 即 (介于当令时,也有使得 注意 若将定理6.6中 换成也可得到同样的结论.例2 求 解：容易检验与在点的邻域内满足定理66的条件(i)和(ii)，又因 故由洛必达法则求得 例3 求解：利用则得=例4 求解：这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解但若作适当变换，在计算上可方便些为此，令，当时有
4、，于是有2型不定式极限定理6.7 若函数和g满足：(i) ii）在某右邻域内两者都可导，且（iii）(A可为实数，也可为)，则注：定理6.7对于。或等情形也有相同的结论例5 求 解：例6 求 解：注：不能对任何比式极限都按洛必达法则求解首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件，虽然是型，但若不顾条件随便使用洛必达法则： 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论 3其他类型不定式极限 不定式极限还有等类型它们一般均可化为型或型的极限。例7 求解：这是一个型不定式极限，例8 求解：这是一个“”型不定式极限作恒等变形其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得 从而得到。例9 求 （为常数）。解：这是一个型不定式极限，按上例变形的方法，先求型极限： 然后得到 。当=0时上面所得的结果显然成立例10 求。解 这是一个型不定式极限类似地先求其对数的极限(型)： 于是有例11 求解：这是一个型不定式极限，通分后化为型的极限，即 例12 设 且已知，试求 解：因为所以由洛必达法则得 注：(1)上例解法中，已知条件用在何处?(2)如果用两次洛必达法则，得到错在何处?例13 求数列极限4
