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1、高中数学第三章概率3.3.2均匀随机数的产生课时提升作 业2新人教A版必修325分钟础球（25分钟60分）、选择题（每小题5分，共25分）1.与均匀随机数特点不符的是（）A.它是0 , 1内的任何一个实数B.它是一个随机数C.出现的每一个实数都是等可能的D.是随机数的平均数【解析】 选D.A, B, C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.12 .设x是0 , 1内的一个均匀随机数， 经过变换y=5x+1,则x=5对应变换成的均匀随机数是（A.0B.2C.4D.5I I【解析】 选B.当x=3时，y=5X3 + 1=2.3 .设xi是0 , 1内的均
2、匀随机数，x2是-2 , 1内的均匀随机数，则 xi与x2的关系是（）B.x 2=3x1-2D.x 2= x 1-2A.x2=2xi-2C.x2=3x1+2【解析】 选B.注意到-2 , 1的区间长度是0, 1的区间长度3倍，因此设x2=3x1+b（b是常数），I I用两个区间中点的对应值，得当x1=时，x2二-乙，1 1所以-2=3*2+b,得b=2.因此x1与x2的关系式是x2=3x1-2.4.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在23阴影区域内的概率为 臼，则阴影区域的面积为 （）C.【解析】选B.因为,所以D.无法计算5.在区间-11上随机
3、地取一个数xf(x)=2的值介于到1之间的概率为A.B.C.选C.由22x1 得-1x0 ,1所以f(x)=2 x的值介于2到i之间的概率为0-(-1) 1P= -1-=-.【补偿训练】设x, y是两个01上的均匀随机数，则 0Wx+yWl的概率为A.B.【解析】 选A.如图所示，所求的概率为C.八丁OI X二、填空题（每小题5分，共15分）6 .在区间-1 , 2上随机取一个数 x,则|x| 1的概率为.【解析】由|x| 1,得-1 WxW 1.由几何概型的概率求法知，区间-1,1的长度2所求的概率 p=，VI :=2答案：157 .在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点
4、的距离至少有一个小于1的概率是.【解析】以A, B, C为圆心，以1为半径作圆，与 ABC交出三个扇形，当 P落在其内时符合要求.答案：8 .在圆心角为90的扇形中，以圆心 O为起点作射线 OC使彳导/ AOCF口/ BO0不小于30的概率为.【解析】作/AOEh BOD=30 ,如图所示，随机试验中，射线OC可能落在扇面 AOB内任意一条射线上，而要使/ AOCm/ BOCtB不小于30 ,则OC落在扇面DO的，所以所求概率答案: 三、解答题(每小题10分，共20分)9 .在长为14cm的线段AB上任取一点 M,以A为圆心，以线段 AM为半径作圆.用随机模拟法估算该 圆的面积介于9兀cm到1
5、6兀cm2之间的概率.【解题指南】圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型.解答本题时只需产生一组均 匀随机数.【解析】 设事件A表示“圆的面积介于 9兀cnf到16兀布之间”.利用计算器或计算机产生一组 0, 1上的均匀随机数 a产RAND(2)经过伸缩变换a=14a1得到一组0 , 14上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数 N和3 , 4内的随机数个数 Ni(即满足3 a 4的个数)；(4)计算频率fn(A)=,即为概率P(A)的近似值.【补偿训练】 如图所示，在一个边长为 3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，用随机模拟的方法求所投的点落入小正方
6、形内的概率2 cm3 cm【解析】设事件A=所投点落入小正方形内.用计算机产生两组0, 1上的均匀随机数，a产RAND b尸RNAD.经过平移和伸缩变换，a=3ai-1.5 , b=3bi-1.5 ,得两组-1.5 , 1.5上的均匀随机数.统计落入大正方形内的点数N(即上述所有随机数构成的点(a, b)的个数)及落入小正方形内的点数N (即满足-1a1且-1b0的点(x , y)的个数).(4)计算频率fn(A)= N ,即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值.【一题多解】本题还可以采用以下方法 利用几何概型的公式：由于随机地投掷飞镖，飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的，且结果有无限多个，
7、所以是几何概型所以飞镖落在阴影部分的概率为、选择题（每小题5分，共1.如图，在AOB中，已知/1 5 5 25.阴影部分的面积为 s=2 6 336,又正方形的面积S=4.253625p= 4=144（20分钟 40分）10分)AOB=60 , OA=2 OB=5在线段 OB上任取一点 C,则 AOC为钝角角形的概率为A.0.6B.0.4【解题指南】C.0.2D.0.1试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况，第一种/ ACO钝角，第二种/OAE钝角，根据等可能事件的概率得到结果【解析】选B.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条
8、件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况:第一种/ ACO为钝角，这种情况的边界是/ACO=90的时候，此时OC=1所以这种情况下，满足要求的是0OC1.第二种/ OAC为钝角，这种情况的边界是/OAC=90的时候，此时OC=4所以这种情况下，满足要4 曾旦一求的是4OC5.综合两种情况，若 AOC钝角三角形，则 0OC1或4OC5所以概率【误区警示】 根据条件， AOC为钝角三角形，但并没有指出哪一个角为钝角，所以解题时可能会 只考虑一种情况，而导致错误的结论为0.2.2.如图所示，在墙上挂着一块边长为 16cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分 别为2cm, 4cm, 6cm
9、,某人站在3m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投, 记事件A=投中大圆内,事件B=投中小圆与中圆形成的圆环内,事件C=投中大圆之外.(1)用计算机产生两组0, 1内的均匀随机数，ai=RAND b尸RAND.(2)经过伸缩和平移变换,a=16ai-8 , b=16bi-8 ,得到两组-8 , 8内的均匀随机数.(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b236的点(a , b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4a2+b216的点(a , b)的个数),投中木板的总次数N(即满足上述-8a8 , -8b8的点(a ,b)的个数).P(B) , P(C)的
10、近似值分别是则概率P(A)N2-Nl N2C.D.明TT选A.P(A)的近似值为P(B)的近似值为P(C)的近似值为【延伸探究】若本题条件不变，求(1)投中大圆内的概率是多少 (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少(3)投中大圆之外的概率是多少？【解析】 “二S正方形=162=256(cm2)a=S 大圆=兀 X 6 =36 兀(cm )心b=S中圆-S小圆=兀X 42-兀x 2之=12兀(cm2)2.a c=S 正方形-S大圆=256-36兀(cm ).由几何概型的概率公式得： (1)P(A)= % =256=64,心 12tt 3it(3)P(C)=(2)P(B)= % =256=64
11、,256 - 36tt 97r=1 1 =1-、填空题(每小题5分，共10分)3.利用计算器在0, 1上产生均匀随机数 x,经过变换y=mx+2,使得2 一3时，对应的变换出的均匀随机数为4,则m的值为.22【解析】当x=3时，y=mx 3+2=4,解得m=3.答案：34.利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x 3和x=2以及x轴所围成的部分)的面积.步骤是：利用计算器或计算机产生两组01之间的均匀随机数，ai=RAND bi=RAND.Ni(满足ba3的点(a , b)的个数)，用几何概型的求概(2)进行伸缩变换a=2ai, b=8bi.(3)数出试验总次数 N和落在阴影内的样本点数
12、率公式计算阴影部分的面积 例如，做1 000次试验，即N=1 000,模拟得到 N=250.【解题指南】根据题目条件可知，a=2ai, b=8bi,所以aC 0 , 2 , bC 0 , 8,利用公式 己知 N求解.【解析】 由条件知，aC 0 , 2, bC0, 8,所以S矩=2X8=16.又由N=1 000时模拟得到 N=250, Ni| 250 所以S阴影N x s矩=1 000 * 16=4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)5 .从甲地到乙地有一班车在 9: 30到10: 00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9: 45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是
13、多少？【解析】能赶上车的条件是到达乙地时汽车没有出发，我们可以用两组均匀随机数x和y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当xwy时能赶上车.设事件A: “他能赶上车”.利用计算器或计算机产生两组0, 1上的均匀随机数，X1=RAND y尸RAND.经过变换 x=0.5x 1+9.5 , y=0.5y 1+9.75.统计出试验总次数 N和满足条件*丫的点仅，y)的个数N.计算频率fn(A)= ,则N即为概率P(A)的近似值.6 .图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1m的圆，在不远处向图形ABC内掷石子，且记录如下：又P（落在。内尸。的面积阴影面积一+。0的面枳50次150次300次石子落在。内（含。上）的次数m144393
