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1、20182019学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效（参考公式：柱体的体积，椎体的体积 ）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相对应答题线上）2.已知集合，若，则 （第6题）3.复数满足（是虚数单位），则 4.函数的定义域是 5. 从这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为的概率为 6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值是 7.已知数列满足中，则 （第9题）8. 若抛物线的准线与双曲线的一条准线重合，则 9. 如图，在直三棱柱中，点为
2、棱的中点，记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的值是 10. 已知函数，若，则实数a的取值范围为 11. 在平面直角坐标系中，过圆上任一点作圆的一条切线，切点为，则当线段长最小时， 12. 已知点为平行四边形所在平面上一点，且满足，则 13. 已知函数，若存有，使得，则实数的取值范围是 14.在中，已知，其中()，若为定值，则实数 二、解答题：（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）已知向量，其中（1）若，求的值；（2）若，求的值16.（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为对角线的中点，点，分别为棱，的中点已知，求证：（1
3、）直线平面； （2）平面平面17.（本题满分14分）如图，三个小区分别位于扇形的三个顶点上，点是弧的中点现欲在线段上找一处开挖工作坑（不与点重合），为小区铺设三条地下电缆管线，已知千米，记，地下电缆管线的总长度为千米（）将表示为的函数，并写出的范围；（）请确定工作坑的位置，使地下电缆管线的总长度最小 18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，点是椭圆上异于左、右顶点的任一点，是的中点，过点且与垂直的直线与直线交于点已知椭圆的离心率为，点到右准线的距离为（1）求椭圆的标准方程； （2）设点的横坐标为，求的取值范围 19.（本题满分16分）设为函数图象上相异两点，且点的横坐
4、标互为倒数过点分别作函数的切线，若这两条切线存有交点，则称这个交点为函数的“优点”（1）若函数不存有“优点”，求实数的值；（2）求函数的“优点”的横坐标的取值范围；（3）求证：函数的“优点”一定落在第一象限 20.（本题满分16分）已知数列的前项和为， ，且对任意的都有 （1）若，求的值；（2）数列能否是等比数列？请说明理由；（3）当时，求证：数列是等差数列20182019学年度第一学期期末考试高三数学答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题 15.（本题满分14分）解：（1）因为，所以，3分即，因为，所以，所以 7
5、分（2）因为，因为，所以，则，所以，10分所以，所以14分16.（本题满分14分）证明：（1）在中，为的中点，为的中点， 所以，3分 因为平面，平面，7分 所以直线平面 （2）连结， 因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 在中，为的中点，为的中点， 所以，9分 因为， 所以，11分 又因为，在平面内， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面14分17.（本题满分14分）解：（1）因为点是弧的中点，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理， 即， 所以，4分所以，7分 （2）因为， 所以，令，得，10分 当时，当时， 所以当时，有极小值，且是最小值，此时.13分答：（1），（2）当为千米
6、时，地下电缆管线的总长度最小 14分 18.（本题满分16分）解： （1）由题意得， ，解得，所以，所以椭圆的标准方程为 4分(2) （法1）设，则，因为，所以直线的方程为，因为是的中点，所以，所以直线的方程为，联立直线、的方程得， 8分解得，由得，代入上式化简得，14分因为，所以16分（法2）设直线的方程为，将代入椭圆方程得，解得，所以，则直线的方程为，因为是的中点，则，所以直线的斜率为，则直线的方程为，8分联立直线、的方程得， 14分因为，所以，即16分 19.（本题满分16分）解：（1）不妨设，当时，则；当时，则，因为函数不存在优点，所以对任意的，都有，所以4分（2）设，由题意，过两点的
7、切线方程分别为，6分联立得，即，所以，8分因为，所以当时，；当时，所以优点横坐标的取值范围是10分（3）证：设优点为，只要证， 设，不妨设在的右边，则， 过的切线方程分别为：，联立这两个方程得， 2分 因为，所以，设，则所以函数在上是增函数，所以，则因为当时，所以故函数的优点一定落在第一象限16分20.（本题满分16分）证明：（1）因为，所以，当时，所以，即，因为，所以4分（2）数列不能是等比数列，理由如下：假设 是等比数列，设公比为，因为，所以，等比数列需满足，所以或，6分当时，因为时，即，则，又时，所以，而不构成等比数列，所以此时不满足要求；8分当时，因为时，即，则，又时，所以，而不构成等比数列，所以此时不满足要求，故数列不能是等比数列10分（3）当时，即，因为，所以，所以，当时，所以。因为，所以，即，所以当时，两式相减得，即，12分所以，两式相减得，所以， 14分所以所以对任意的，都有，又因为，所以数列是等差数列16分
