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1、海水养殖场的设计摘要 本文研究通过对海水养殖场的设计，使得养殖场总的投资效益最大。问题1：在射线OA与OB上分别选点A与B满足，此时为最大值。问题2：将S分为两部分与，在C处打一桩满足，在射线OA与OB上分别选点A与B满足时S有最大值，并且问题二的解决可以发现引理一：对的优化问题3：将S分为两部分与四边形，此时为最大值，并且问题三的解决可以发现引理二：对的优化问题4：利用引理一和引理二有，位于以为圆心的扇形上。都是等腰三角形且全等。一 问题重述 这里 ，。请依次回答下列问题。 问题1 设渔网的总长为常数，在射线OA与OB上分别选点A与B,使得。在这两点处各打一桩，从A到B用渔网连接。试问A、B
2、选在何处可使所围养殖场水面面积S（以下均用S表示该面积，该问中S等于AOB的面积）最大？证明你的结论。问题2 若另可在海中某点C处打一桩，使，将AC与CB分别用渔网连接，试问A、B、C如何选址可使S最大？为什么？问题3 若海中另可选两点与，这里,。在，处各打一桩，依次用渔网连接，试问，如何选址可使S最大？为什么？问题4 若在海中可依次打桩，回答问题3的推广问题。二 符号说明 围养殖场水面面积 渔网的总长 的长度 的长度 ，。 的长度 的大小 的大小三 模型的建立与求解3.1 A、B选在何处可使S最大利用图中的几何关系可知，余弦定理可知（1），问题转化为求出满足(1)式的条件下，S的最大值。即当
3、且仅当时取等号3.2 选在何处可使S最大连接，将S分为两部分与，假设两三角形无公共部分时，在线段长度固定的情况下，不妨设。对于，利用上题的结论可知，。对于，设，半周长，利用海伦公式有当且仅当时取等号即，为等腰三角形。 设，S的最大值问题转化为的最大值。设，即，。当且仅当，即，。，由问题二的解决可以发现一些规律：引理一：在相邻三桩之接的两张渔网，不妨设为，在固定，不固定，固定时，对于有，当S取到最大值时满足，即两张相邻渔网的长度相等。证明：类似问题二的的面积最大值的求法，设当且仅当时取等号即，为等腰三角形。3.3 选在何处可使S最大连接，将S分为两部分与四边形，过和分别作的垂线，在线段长度固定的
4、情况下，不妨设。设的最小值处理方法同上。利用引理一有，当取到最大值，。由几何关系得，则平方得，（1） 当时（2） 当时关于在定义域内单调减，而关于在定义域内单调减当，即时，不等号取等，此时四边形为等腰梯形。由几何性质，等腰梯形四点共圆，四边形四点共圆。连接，与平行 四边形四点共圆此时设，则接下来求出的最小值设，取到最小值时也取到最小值则，即同理有则此时为最大值由问题三的解决可以发现一些规律：引理二：在相邻四桩之接的三张渔网，不妨设为，在固定，不固定，固定时，对于有，当S取到最大值时满足，即三张相邻渔网的夹角相等。证明：类似问题三的的面积最大值的求法，过程略。结合引理一和引理二，得到了当S取到最大值时，四边形为等腰梯形且四点共圆。3.4 选在何处可使S最大利用引理一有，当取到最大值时，有。当取到最大值时，四边形为等腰梯形且四点共圆，其中。更进一步有相邻四边形有公共三角形，共圆心。则位于以为圆心的扇形上。都是等腰三角形且全等。
