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1、 数 列2第一节 数列的概念与简单表示法1.数列的概念 按照一定顺序排着的一列数称为数列.数列中的每个数叫做这个数列的项.一般形式可以写成 简记为. 叫做数列的第项. 从函数的角度，数列是以(或)为定义域的函数,当自变量取时，所对应的一列函数值.2.数列的分类 (1)按项数分类，分为有穷数列和无穷数列.(2)按增减性分类，分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列.3.通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么叫做数列的通项公式. 注：(1)并非每个数列都有通项公式. (2)也并非通项公式都是唯一的.如 . 数列还可以用列表法、图像法表示.第二节 等差数列1.等差数列的概
2、念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母表示.，2.等差中项 如果组成等差数列，那么叫做的等差中项.是的等差中项3.通项公式 推到方法：累加法(适用于，求) 4.前项和公式 推到方法：倒序相加法.5.函数观点 (1) (一次函数)； (2) (常数项为0的二次函数).6.等差数列的性质 (1)若为等差数列,且，则. 特别地，. (2)若，均为等差数列，则为等差数列. (3)若为等差数列，则等距离取出若干项为等差数列，公差为. 特别地，；为等差数列. (4)若为等差数列,则为等差数列，公差为.
3、 (5)若为等差数列，则为等差数列，公差为. (6)若为等差数列，则为等差数列，首项为，公差为.7.单调性和最值 (1)是递增数列. 有最小值. (2)是递减数列. 有最大值. 求的最值问题： 法一：利用二次函数配方求最值. 法二：(1)若，则有最小值为所有非负项的和. (2) 若，则有最大值为所有非正项的和.8.等差数列的判定 (1)定义法(大题)：； (2)通项公式法：； (3)等差中项法：； (4)前项和法：.9.裂项相消法求和 题型：使用与为分式型或无理式型(有理化). 方法：把分成两项差的形式，再求和，可消去中间项.裂项的规则：为等差数列，公差为.(1)；如；(2)； 如；(3) ；
4、如；(4) .第三节 等比数列1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.,2.等比中项 如果成等比数列，那么叫的等比中项.是的等比中项. 0,0,73.通项公式 推导方法：累乘法(适用于，求)4.前项和公式推到方法：错位相减法(倍差法).适用于一个等差数列和一个等比数列对应项乘积构成的数列求和.5.函数的观点 (1) (2为常数且6.等比数列的性质 (1)若是等比数列，则. 特别地，. (2)若,均为等比数列,公比分别为，则,仍为等比数列，公比分别为，. (3)若是等比数列,则
5、等距离的取若干项也为等比数列，公比为.特别地，；为等比数列.(4)若为等比数列,则为等比数列，公比为. (5)若为等比数列，则为等比数列，公比为. (6)非零常数列既是等差数列又是等比数列. (7)若为等差数列，则为等比数列，公比为； 若为等比数列，则为等差数列，公差为.7.等比数列的单调性 (1) 当或时，是递增数列； (2) 当或时，是递减数列. 8.等比数列的判定 (1)定义法(大题)：； (2)通项公式法：； (3)等比中项法：； (4)前项和法：为常数且.9.错位相减法求和（倍差法）题型：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项乘机构成的数列求和. 是的前项和，等差，等比.求.步骤：1
6、.写出 ； 2.写出 (为等比数列的公比)； 注意：1) 式右侧不要化简； 2) 式和式右侧“错位对齐”. 3.作差-得，； 4.化简求. 注意：若为字母时，需要讨论和的情况.第四节 、的求法一、的求法(共4种，重点是后两种)1.公式法：只适用于等差、等比数列.2.分组转化法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，再分别求和.3.裂项相消法：题型：使用与为分式型或无理式型(有理化). 方法：把分成两项差的形式，再求和，可消去中间项. 裂项的规则：为等差数列，公差为. (1)；如；(2)； 如；(3) ；如；(4) .4.错位相减法求和（倍差法）题型：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项乘机构
7、成的数列求和. 是的前项和，等差，等比.求.步骤：1.写出 ； 2.写出 ； (为等比数列的公比)； 注意：1) 式右侧不要化简； 2) 式和式右侧“错位对齐”. 3.作差-得，； 4.化简求. 注意：若为字母时，需要讨论和的情况.二、的求法(共9种，前5中为基本型，后4种经变化可转化为基本型)1.已知或与的关系，求. 方法： 注意：的情况，要先求.2.已知，求.(累加法-等差数列通项公式推到方法) 特点：(1)相邻两项差； (2)与的系数相同，且幂次相同； (3)可求. 方法：累加法3.已知，求.(累乘法-等比数列通项公式推到方法) 方法：累乘法4.已知，求.(差比数列型) 方法：待定系数法 步骤：(1)数列方程 ； (2)待定系数； (3)求.,； (4) ； (5)为等比数列.5.已知，求. 方法：待定系数法，两边同时加上，待定，则有 令于是是等比数列，公比为.6.已知，求. 方法：取倒数，有，再接类型4.7.已知，求. 特点：与的幂次不同. 方法：取对数，则有，再接类型4.8.已知，求. 方法：同时除以的最大角标次幂，本例同除以，则有 ，再接类型4.9.已知，求. 特点：(1) 相邻3项的关系式； (2) 为常数； (3) 相邻3项的幂次相同. 方法：令 ，解出.则有 从而 是等比数列，公比为.于是，再接类型8.
