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1、2.2 根本不等式教材分析：“根本不等式”是必修 1 的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，把握了不等式性质的根底上对不等式的进一步争论，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用根本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节学问又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培育学生良好的思维品质.教学目标【学问与技能】1. 学会推导并把握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并把握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当1这两个数相等；2. 把握根本不等式 a + b ；会应用此不等式求某些函数的ab2最值；能够解决一些简洁的实
2、际问题【过程与方法】通过实例探究抽象根本不等式；【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探究不等式ab a + b 的证明过程；2【教学难点】1. 根本不等式 ab a + b 等号成立条件；22. 利用根本不等式教学过程1. 课题导入ab a + b 求最大值、最小值.2前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，有a2+b22ab，当且仅当a=b时，等号成立特别地，假设a0，b0，我们用 , 分别代替上式中的a，b，可得当且仅当a=b时，等号成立.通常称不等式1为根本不等式bas
3、icinequality.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.根本不等式说明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察 a2+b2=2ab 的特别情形获得了根本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出根本不等式呢？下面我们来分析一下.2. 讲授课1） 类比弦图几何图形的面积关系生疏根本不等式 a + bab2ab特别的，假设 a0,b0,我们用分别代替 a、b，可得a + b 2，ab通常我们把上式写作： a + b (a0,b0) 22） 从不等式的性质推导根本不等式用分析法证明： a + bab2ab要证 a + b 21只要证 a+b2要证2
4、，只要证 a+b-03要证3，只要证-204明显，4是成立的.当且仅当 a=b 时，4中的等号成立.探究 1：在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b.过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD、BD.你能利用这个图形得出根本不等式 a + b 的几何解释吗？易证tADtDB，那么D23ab2AB9即D ab .这个圆的半径为 a + b ，明显，它大于或等于 CD，即 a + b 22其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 ab 时，等号成立.ab ，因此：根本不等式ab a + b 几何意义是“半径不小于半弦”2评述：1.假设把 a + b 看作是正数 a
5、、b 的等差中项，2ab 看作是正数 a、b 的等比中项，那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称 a + b 为 a、b 的算术平均数，称2ab 为a、b 的几何平均数.本节定理还可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.例1x0，求x 的最小值.分析：求x 的最小值，就是要求一个y =x ，使 x0，00【设计意图】教师引导，学生自主探究得到结论并证明，熬炼了学生的自主争论力量和争论问题的规律分析力量.都有x y.观看x+ ，觉察x=1.联系根本不等式，可以利用正数x和 的算术平均数与几何平均数的关系得到y =2.0x=2当且仅当x=
6、 ，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为解：由于x0，所以在此题的解答中，我们不仅明确了 x0，有x 2，而且给出了“当且仅当x= ，即=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明 2是x x0的一个取值，想一想，当y 0的最小值吗？1假设积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；例2x，y都是正数，求证：2假设和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.证明：由于x，y都是正数，所以.（1） 当积xy等于定值P时，所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值.（2） 当和x+y等于定值S时，,所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，
7、当x=y时，积xy有最大值例31用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？2用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：1矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.2矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2x+ym.，1由得xy=100. 由可得x+y2=20，所以2x+y40，当且仅当x=y=10时，上式等号
8、成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.，2由得2x+y=36，矩形菜园的面积为xym2.由可得xy81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.例4某工厂要建筑一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.假设池底每平方米的因此，当这个矩形菜园是边长为 9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.假设池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此， 应当考察池底的边长取什么值
9、时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.依据题意，有z=150+12023x+23y=240000+720x+y.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z240000+7202，当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为 40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是 297600 元.【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1. a、b、c 都是正数，求证：abbccaabc分析：对于此类题目，选择定理： a + b 2ab a0，b0敏捷变形，可求得结果.ab2
10、0bc20解：a，b，c 都是正数ca20abbcca222abc即abbccaabc.【设计意图】讲练结合，生疏知. 4.课时小结的算术平均数， 几何平均数 及它们的关系本节课，我们学习了重要不等式 a2b22ab；两正数 a、b.它们成立的条件不同，前者只要求 a、b 都是我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题： ab，ab实数，而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的根本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺当解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应留意考察以下三个条件：(1) 函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必需有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
