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1、课题:不等式的基本性质课型:新授课教学目标:知识与技能:了解实数的基本事实,能够比较两个实数的大小,掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。过程与方法:通过对基本不等式的基本性质的证明,使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质,并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。情感态度与价值观:通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质,是学生掌握类比的数学方法。教学重点:比较两个实数的大小关系,掌握不等式的基本性质。教学难点:通过运用基本性质来证明不等式。教学过程:一 新知引入以人们常用的长与短,多与少,轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数
2、学中人们用不等式来表示事物的不等关系。说明研究不等式的出发点是实数的大小关系,并举例说明:(i) 设存在a,b两个实数,它们在数轴上的对应的点分别是A,B,当A在点B的左边时,a与b有着怎样的大小关系?(ab)(i)(ii)边说边在黑板上画出数轴,呈现出相应的图形,并让全班一起回答,把答案写在对应图形的右边。由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系,得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。ab a-b0.aba-bb(或a )让学生思考片刻,让学生说出解答的过程,并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系,可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答,并说明这种
3、方法是作差比较法。三 以旧推新在学习和证明不等式的过程中,我们需要广泛运用基本性质,那么不等式有哪些基本性质?我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质?提示语发问,引起学生思考,并且加以引导:我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系,而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此,它们之间应该会有一定的联系,那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质?回顾等式的基本性质,让一些同学回答,教师再进行完善,并写在黑板的草稿区。由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质:性质1:abbb,bcac (单向传递性)由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质?
4、尝试和学生一起思考,先在黑板试着写出不等式的相应性质,并让学生在已有的经验上去说明其正误。尝试写出:abacbc abacbc学生很容易判断前者是成立的,而后者不一定成立,与c的取值有关,从而总结得出以下性质:性质3:abacbc性质4:ab,c0acbc ab,c0acb0性质6:ab0给学生演示性质5,6的证明过程。说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础,提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号(是否大于0)。四推论证明利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。性质3推论:(i) 如果a+bc,那么ac-b(ii) 如果ab,cd,那么a+cb+d(iii) 如果ab,cd,那么
5、a-db-c对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明,1分钟后,教师在黑板上演示推论(i)(ii)的证明过程,并强调运用的是哪个性质,推论(iii)让一个学生根据前面的演示来回答解答过程,并要说出是依据什么性质。教师板书过程。性质4推论:(i) 如果ab0,cd0,那么acbd(ii) 如果ab0,cd0,那么让学生思考片刻证明过程,推论(i)让学生回答解答过程及依据,教师完善并板书。推论(ii)由教师引导思考过程和方向:要证,即证,在已知cd0的前提,问学生的证法。学生可能会运用函数的单调性质来证明,说明这个方法可行,并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明,引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。让学生回答的证明过程:由cd0,得出cd0,c-d0, 则,接着证明推论(ii):由a0及性质4,得由ab0, c0,及性质4,得 由性质2得,。五小结与作业 小结:回顾本节课的内容,重复比较两个实数大小的方法是作差比较法,回顾不等式的基本性质及其推论,强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。 作业:课后习题1.1的第1-4题。