方波的分解课程设计

《方波的分解课程设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《方波的分解课程设计（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、武汉工程大学本科课程设计课程设计说明书课程设计名称： 方波的合成与分解 课程设计题目： 方波的合成与分解 学 院 名 称： 理学院 专 业 班 级： 激光一班 学 生 学 号： 1409090113 学 生 姓 名： 汪玉琛 学 生 成 绩： 指 导 教 师： 郝向英 课程设计时间： 2016.06.08至 2016.06.23 12目录1设计的目的和要求22 设计方法与步骤22.1 信号分解为正交函数 22.2周期信号的分解与合成 42.2.1周期连续信号的特点42.2.2周期为T的信号的三角形式的傅里叶级数表示的一般形式53 MATLAB的仿真实现63.1基于MATLAB方波信号的分解与合

2、成 63.1.1方波信号的分解与合成63.1.2使用MATLAB进行分解 83.1.3使用MATLAB进行合成 93.1.4方波信号的频谱图113.1.5方波信号的误差分析113.2结论124心得体会135参考文献131设计的目的与要求 用MATLAB软件将方波分解成多次正弦波之和。已知某一周期性方波（参数自拟），用MATLAB演示谐波合成情况，并讨论相关参数对分解和合成波形的影响。2 设计方法与步骤2.1 信号分解为正交函数 设有个函数在区间构成一个正交函数空间。将任一函数用这个正交函数的线性组合来近似，可表示为 （1-1）这里的问题是：如何选择才能得到最佳近似。显然，应选取个系数使实际函数

3、与近似函数之间误差在区间内为最小。这里“误差最小”不是平均误差最小，因为在平均误差最小甚至等于零的情况下，也可能有较大的正误差和负误差在平均过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差均方值（或称为方均值）最小，这时，可以认为已经得到了最好的近似。误差的均方值也称为均方误差，用符号表示 （1-2）在中，为球的使均方误差最小的第个系数，必须使即 （1-3）展开上式的被积函数，注意到有序号不同的正交函数相乘的各项，其积分均为零，而且所有不包含的各项对求导也等于零。这样，式（1-3）中只有两项不为零，它可以写为交换微分与积分次序，得于是可求得 （1-4）式中 （1-5）这就是满足最

4、小均方误差的条件下，式（1-1）中各系数的表达式。此时，能获得最佳近似。 当按式（1-4）选取系数时，将代入到式（1-2），可以得到最佳近似条件下的均方误差为 考虑到，得 （1-6）利用上式可直接求得在给定项数的条件下的最小均方误差。 有均方误差的定义式（1-4）可见，由于函数平方后再积分，因而不可能为负，即恒有0。由式（1-5）可见，在用正交函数去近似（或逼近）时，所取的项数越多，即愈大，则均方误差愈小。当时，。由式（1-6）可得，如，则有 （1-7）式（1-7）称为帕斯瓦尔（Parseval）方程。 如果信号是电压或电流，那么，式（1-7）等号左端就是在区间信号的能量，等号右边是在区间信号

5、各正交分量的能量之和。式（1-7）表明：在区间信号所含能量恒等于此信号在完备函数集中各正交分量能量的总和。与此相反，如果信号在正交函数中的各正交分量能量的总和小于信号本身的能量，这时式（1-7）不成立，该正交函数集不完备。这样，当时，均方误差，式（1-1）可写成 （1-8）即函数在区间可分解为无穷多项正交函数之和2.2周期信号的分解与合成2.2.1周期连续信号的特点周期连续信号有如下特点：（1）满足，m是整数，是周期。从波形上看，有一个时间跨度为的基本波形，其余的是该基本波形经平移的整数倍后的重新拷贝。（2）在一个周期内的积分，其值与积分的起点和终点无关，即有 （3）将周期信号展开成傅里叶级数

6、具有的以下显著优点是：三角函数和指数函数是自然界中最常见、最基本的函数。三角函数和复指数函数是间谐函数，用它们表示时间信号，就自然地建立了时间和频率这两个基本物理量之间的关系。间谐信号较其他信号更容易产生和处理。三角函数（或指数函数）信号通过线性时不变系统后，仍为三角函数（或指数函数），其重复频率不变，只是幅度和相位有变化。线性时不变系统对三角函数（或指数函数）信号的响应可以很方便地求的。很多系统（例如滤波器、信息传输等）的特性主要是由其频域特性来描述的，因此常常更需要知道的并不是这些系统的冲激响应，而是其冲激响应所对应的频率特性。时域中的卷积运算在频域会转化为乘积运算，从而找到了计算卷积的一

7、种新方法，这可使时域中难以实现的卷积运算求解便于实现。周期信号当满足狄里赫利（Dirichlet）条件时可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数分三角形式和指数形式两种。狄里赫利条件如下：（1）在一个周期内，是绝对可积，即。（2）在一个周期内，的最大值和最小值的数目是有限个。（3）在一个周期内，只有有限个间断点，而且在这些间断点上，函数值必须是有限个。2.2.2周期为T的信号的三角形式的傅里叶级数表示的一般形式设有周期信号，它的周期为T，角频率，则的三角傅里叶级数表示的一般形式为 （2-1） 其中 可以写成更紧凑的和式为：式（2-1）中的系数、称为傅里叶系数，为在函数中的分量（相对大小）；为在函数中的

8、分量，它可由式（1-4）求得。为简便，式（1-4）的积分区间取为或。考虑到正、余弦函数的正交条件，由式（1-4），可得傅立叶系数 （2-2） 周期信号也可分解为一系列余弦信号，即： （2-3）其中 式（2-3）表明，任何满足狄里赫利条件的周期函数都可以分解为直流和许多余弦（或正弦）分量。其中第一项是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项称为基波或一次谐波，它的角频率和原周期信号相同，是基波振幅，是基波初相角；式中第三项称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，是二次谐波的振幅，是其初相角。以此类推，还有四三次、四次、谐波。一般而言，称为次谐波，是次谐波的振幅，是其初相角。式（2-3）

9、表明，周期信号可以分解为各次谐波分量。 式(2-2)表示周期信号可以分解成直流分量和各次谐波分量的叠加，用直流分量和各次谐波分量代替原来的周期信号，原则上应该是无穷多项的叠加，实际应用中只取其中的前项，产生的误差函数用en（t）来表示 （2-4）另外一个衡量误差大小的函数为方均误差【10】： （2-5）3 MATLAB的仿真实现MATLAB是目前世界上最流行的、应用最广泛的工程计算和仿真软件，它将计算、可视化和编程等功能同时集于一个易于开发的环境。MATLAB是Matrix Laboratory的缩写，是一个包含众多工程计算和仿真的庞大系统。MATLAB是一个交互式开发系统，其基本数据要素是矩

10、阵。语法规则简单，适应于专业科技人员的思维方式和书写习惯；它用解释方式工作，编写程序和运行同步，键入程序立即得出结果，因此人机交互更加简洁和智能化；而且MATLAB可适用于多种平台，随着计算机软、硬件的更新而及时升级,shide编程和调试效率大大提高3.1基于MATLAB方波信号的分解与合成现以周期为T、幅值为1的方波信号为例3.1.1方波信号的分解与合成图1 周期为T的方波图由式（2-2）可得 考虑到，可得 将它们代入（2-1）式，可得图1所示的方波信号的傅立叶级数展开式为 它只含一、三、五、奇次谐波分量。周期为T=1的可分解为3.1.2使用MATLAB进行分解由周期T=1为例：图2为周期为

11、T=1的方波信号，经傅立叶级数分解以后而得到的基波到七次谐波的仿真图，左上角为基波图，它是一个非常正规的正弦波，幅值在1到1.5之间，要高于原方波的幅值。而且它的角频率与原方波信号相同。右上角为三次谐波图，其也是正弦波，明显，其幅值降到了0.5以下，但是三次谐波的频率是基波的1.5倍。其它图形依次为五次谐波，七次谐波。 图2 周期为T=1方波信号的分解图方波信号的分解：t=-3*pi:pi/100000:3*pi;f=square(2*pi*t,50);f1=4*sin(2*t*pi)/pi;f2=4*sin(6*t*pi)/(pi*3);f3=4*sin(10*t*pi)/(pi*5);f4

12、=4*sin(14*t*pi)/(pi*7);subplot(221),plot(t,f1);hold onplot(t,f,r-);grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);subplot(222),plot(t,f2);hold onplot(t,f,r-);grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);subplot(223),plot(t,f3);hold onplot(t,f,r-);grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);subplot(224),plot(t,f4);hold onplot(t,f,r-);grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);