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1、应用离散数学 群环域第4章：群、环、域4.1 代数运算习题4.11. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）集合关于普通的加法和普通乘法运算，其中是一个正整数。（2）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（3）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（4）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（5）所有阶实可逆矩阵集合关于矩阵加法和矩阵乘法运算。对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解：（1）任意，所以对普通的加法运算封闭。，所以对普通的乘法运算封闭。 （2）2. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）正实数
2、集合和*运算，其中*运算定义为：（2）。*运算定义为：对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解：（1）不封闭。例如， 。 （2）封闭。，所以*运算在上是封闭的。， 有：，而，因为不恒成立，即，所以不满足交换律。因为，所以，所以满足结合律。又因为，所以满足等幂律。设为单位元，则因有，即，由的任意性可知，单位元不存在。3. 设，这里是有理数集合，*为上的二元运算，（1）*运算在上是否可交换、可结合？是否为等幂的？（2）*运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求中所有可逆元素的逆元。（3）*运算在上是否满足消去律？
3、解：（1）， 所以，故*运算在上不可交换。又，有所以，故*运算在上可结合。又，所以*运算在上不等幂。（2）*运算在上的单位元是，存在逆元的元素的逆元是，且的可逆条件是，不存在零元。（3）若 即 ，也即，所以，也就是，故，所以满足左消去律，同理可证满足右消去律，故满足消去律。4. 为实数集合，定义以下六个函数。有，（1）指出哪些函数是上的二元运算。（2）若是上的二元运算，说明是否可交换的、可结合的、等幂的？（3）若是上的二元运算，求单位元、零元以及每一个可逆元素的逆元。（4）若是上的二元运算，说明是否满足消去律。解：（1）这6个都是上的二元运算。 （2）它们的可交换性、可结合性、等幂性、单位元、
4、零元判断如下： 函数交换结合 等幂单位元 零元 为0 为1 为0 （3）的逆元为，的逆元为。（4）略5. 设，问下面定义的运算在上是否封闭？对于封闭的二元运算，请说明运算*是否满足交换律、结合律，并在存在的情况下求出运算*的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1），是与的最大公因数。（2），是与的最小公倍数。（3）大于等于和的最小整数。（4）质数的个数，其中。解：（1）封闭。因为，为与的因数，故。交换律和结合律都满足。单位元没有，1是零元。 （2）不封闭。例如， ，。 （3）封闭。交换律和结合律满足。单位元是1，零元是10。 （4）不封闭。例如，。4.2 半群与群习题4.21. 设是所有形如的
5、矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。试问是半群吗？是有么半群吗？这里是实数。解：任取的2个元素，是一个代数系统。又因为矩阵的乘法满足结合律，所以是一个半群。 又因为，只要，则 ，对任何成立，即是左单位元（不论取何值）。因此单位元不存在（若单位元则左右单位元都存在且相等还唯一），即不是有么半群。事实上，右单位元确实不存在，因为不论取何值不可能对任何成立，所以右单位元不存在。 因此单位元不存在不是有么半群。2. 在正实数集合上定义运算*如下试问是半群吗？是有么半群吗？解： 任取中的3个元素 ，所以是一个代数系统。，即是一个半群。如果存在单位元，则，可得，所以没有单位元，所以不是有幺半群。3. 对自然
6、数集合定义运算和如下：，试问和是半群吗？是有么半群吗？ 解：显然都满足运算的封闭性，所以和都是代数系统。显然都满足运算的结合律，所以和都是半群。有单位元“1”，所以是有么半群。没有单位元，所以不是有么半群。4. 设是一个半群，它有一个左零元，令证明也构成一个半群。5. 在一个多于一个元素的有么半群中，证明一个右零元不可能有右逆元。证：有么半群中的么元显然不可能等于任一个右零元。设有一个右零元，它的右逆元为，则，因为，所以，即，导致矛盾，因此一个右零元不可能有右逆元。6. 设是一个多于一个元素的集合，是上所有函数组成的集合，证明有么半群有多于一个的右零元，但没有左零元。这里表示复合运算。 证：
7、因至少含有2个元，不妨设，且，定义如下两个映射： ， 则因为 ， 所以，即和是的右零元，所以说有多于一个的右零元。下面证明无左零元，用反证法，设有左零元，则 有： 这与矛盾，所以无左零元。7. 设为整数集合，在上定义二元运算如下：问关于运算能否构成群？为什么？解：易证Z关于运算是封闭的，且对任意有 ，结合律成立。2是运算的么元。，是关于运算的逆元。纵上所述，够成群。8. ，证明是一个群，这里是复合运算。证：，且，对于任意的，有又，得，故运算在上是封闭的。恒等变换，从而有单位元。，取，有 故可逆，且。所以是一个群。9. 设，证明是一个群，这里，运算表示将代换到中所在位置。证： 从运算表上可以看出
8、，运算具有封闭性，满足结合律，单位元为，每个元都有逆元，所以构成一个群。10. 设。在上定义六个函数如下：，令为这六个函数构成的集合，是复合运算。（1）给出的运算表。（2）验证是一个群。证：（1）建造如下的运算表 （2）从表上可以看出，函数的复合运算在G上具有封闭性，有可结合性，有么元，的逆元为，的逆元为，的逆元为，与互为逆元。故是一个群。11. 在群中计算下列元素的幂：，解： ， ， ， ， ， 12 设是一个群，证明，13. 设，对于上的二元运算“模7乘法”：构成一个群。请（1）给出的运算表。（2）给出每个元的逆元。（3）给出每个元的次数。解：（1） 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3
9、 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 3 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1（2）逆元： ，。（3）元素1，2，3，4，5，6的次数分别为1，11，5，2，3，6。14. 设，对于上的二元运算“模15乘法”：构成一个群。请（1）给出的运算表。（2）给出每个元的逆元。（3）给出每个元的次数。解：（1） 1 2 4 7 8 11 13 14 1 1 2 4 7 8 11 13 14 2 2 4 8 14 1 7 11 13 4 4 8 1 13 2 14 7 11 7 7 14 13 4 11 2 1 8 8 8 1 2
10、11 4 13 14 7 11 11 7 14 2 13 1 8 4 13 13 11 7 1 14 8 2 2 14 14 13 11 9 7 4 2 1 （2）逆元：， （3）元素1，2，4，7，8，11，13，14的次数分别为1，4，2，4，4，2，4，2。4.3 群的性质、循环群习题4.31. 设为群，若有，证明为交换群。证：，因为有，所以有， 因为，即，又因为为群，所以为交换群。2. 设是群，证明是交换群的充要条件是有。证：充分性： 条件已知，由于是群，运算满足结合律和消去律，有 ，故，所以是交换群。必要性： 条件已知是交换群，运算满足结合律和交换律，有，即 证毕。3. 设为群，并且对任意的都有，证明是交换群。证：因为为群，所以运算满足消去律和结合律，又有，所以 从左边消去和右边消去后可得 即对上式使用消去律，有 （1） (2)由（1）和（2）可推出：对使用消去律，则有。所以是交换群。4. 设为有限半群，且满足消去律，证明是群。证：对于，考虑集合由封闭性可知，又由的有限性，所以也是有限集。故必有，使得 即 由消去律可得，即有
