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1、有限元程序对索单元的模拟计算方法探讨邓 科，李 翠，郝海龙，王灿东，郑德江(中交公路规划设计院有限公司, 北京 100088)摘要：本文讨论了目前有限元软件对索单元模拟计算的考虑垂度的Ernst公式刚度折减和考虑初应力效应的 几何刚度方法，并给出了精确描述索单元力学行为的解析方法。根据目前桥梁工程中主缆和斜拉索常用的 力学和尺寸参数进行计算，分析两种模拟计算方法与解析解之间的误差，最后总结了悬索桥和斜拉桥计算 时对主缆和斜拉索应采用的合理的模拟计算方法。关键词：索单元，垂度，几何刚度Discussion on FEM simulating method of cableDENG Ke, LI
2、Cui, HAO Hai-long, WANG Can-dong, ZHENG De-jiang(CCCC Highway Consultants CO., Ltd.)Abstract: This paper discussed the simulation of cable elements and analyzed with finite element software. The simulation of cable elements concluded Ernst stiffness reduction method considering sag of cable, geometr
3、ic stiffness method considering the effect of initial stress and an accurate method of description for the cable mechanical behavior was proposed. According to the calculation with mechanics and dimensional parameters commonly used in main cable and stayed-cable, errors between the simulation method
4、 and the analytic solution were analyzed. Finally the reasonable simulation method for the main cable and stayed-cable while analyzing suspension bridge and cable-stayed bridge was proposed.Keywords: cable, sag, geometric stiffness1 概述索是指仅有轴向拉压刚度而没有抗弯 刚度的受力构件，在桥梁工程中大量应用这 种构件，如悬索桥中的主缆、吊索，斜拉桥 中的斜拉索。在桥
5、梁设计时，目前的有限元程序都是 将主缆、吊杆和斜拉索采用桁架单元模拟。 一方面，索单元由于其不存在抗弯刚度，在 重力作用下存在垂度；另一方面，结构建模 都是基于成桥状态模拟结构构形，此时索单 元内部存在初应力，这使得索单元的非线性 行为非常复杂。在斜拉桥计算时，常采用Ernst公式对斜拉索刚度进行折减；而悬索桥计算时又采用有限位移理论，考虑主缆和吊 杆的初应力来提高缆索系统的刚度。同样是 索单元，何时考虑刚度折减何时考虑刚度提 高，这是一个让桥梁设计工程师倍感困惑的问题。本文通过理论分析和数值验证，给出这一问题的解答。由(2)和(3)，可以得到：S_S 0=AS =EASoq2S3 cos2
6、a24T 2(4)2 索单元的模拟计算方法根据弹性模量的定义：2.1 考虑垂度的刚度折减 索单元在自重影响下会产生一定的垂 度，这一垂度的大小与索力有关，而且垂度 与索力呈非线性关系，推导如下。do dT S S鬻=莎二屈丁菖(5)1+图1 考虑垂度的索单元q 2 S 3 A cos2 a12S T 30近似认为S恣0,其引起的误差可忽略不计，将(5)整理后，得到Eeffq2S2Acos2a1+E12T3(6)这就是考虑垂度效应后对拉索轴向刚度进行修正的的Ernst公式，从这个公式不难P=S+8 f 23S(2)假设索的重力集度为q,弹性模量为E, 索原长S0,变形后端点之间直线长度为S, 索
7、与水平面的夹角为a索内的轴力为T索 中部m的垂度为f取索的一半为隔离体，对 索端部取矩，不难得到：1Tf = 8 qS 2cos a(1)当垂度较小时，可认为索的形状为抛物 线，那么索的形状长度为：q2l 3 cos2 a=S +24T2又根据索的轴力为T那么其形状长度为：发现，无论索两端轴力为何值，其等效刚度 %总小于弹性刚度E，而且随着拉力的减 小，其刚度减小更多。2.2 考虑初应力的刚度提高众所周知，构件受到轴向压力后，其侧 向刚度减小，当轴向压力达到构件的压曲荷 载时，其侧向刚度为零，此时构件发生失稳。 而构件受到轴向拉力时，其侧向刚度提高， 抵抗侧向荷载的能力加强。这个特性是由于 结
8、构的几何刚度改变所引起。索的几何刚度 矩阵可以简单推导如下。(3)图2 考虑初拉力的索单元-11便是拉索的几何刚度i图3 索单元解析解(9)如图2所示，拉索两端受到拉力为T若拉索两端产生横向位移A.和A.,在小位移情 ij形，假设拉索轴力保持T不变，则对i点取矩可得： -AV. -T(7)jl其中为l拉索单元长度。又根据竖向受力平衡，不难知道V=V.， i.由此可以得到拉索抵抗侧向荷载的平衡方程为：矩阵。不难看出，拉索初拉力的存在使得其 产生横向位移需要施加侧向力，而且随着拉 索拉力T的增加，使拉索两端产生横向位移 所需的侧向力相应加大，意味着拉索横向刚 度的提高。2.3 拉索力学行为的解析解
9、事实上，索的受力行为具有高度的非线 性，对其力学行为的真实描述不能仅考虑垂 度和初拉力，应结合索的基本属性，通过受 力分析加以确定。对索单元，引入以下假定：(1)忽略索的抗弯刚度； (2)材料满足胡 克定律；(3)索的抗拉刚度变形前后不发生变 化。设索弹性模量为E,横截面积为A,延米 自重为q,水平长度为1,竖向高度为h无 应力长度为S0，变形后形状长度为P0，左端 的水平力和竖向力分别为H、右端的水 i平力和竖向力分别为H、V.,其中由于自重 .作用方向竖直向下，因此索段处处水平力分量相同，均为H。设索段上一点M,它与左端点O之间的 索段的无应力长度为s,变形后形状长度为 p,在笛卡尔坐标系
10、中的坐标为x、y,该处 的轴力，水平分力和竖向分力分别为T、H、 V。那么根据索段长度定义,可知+ 1 強2I dP丿根据受力平衡：dx Hdy VV + qs= 和 =1dP TdP T T根据胡克定律，索段的伸长dp _ ds(T、+1IEA丿(11)dl _ 旦 dH +6Hf l H 2_ + Hp旦dV6V ii将(9)和(10)联立，不难得到(12)(10)、(11)和(12)联立，可知dx _ dx dpds dp dsH_+zEA M P + + qs P(13)分离变量并积分，可得i _ HSo+EA ln V + qS + 丫 H 2 +(V + qS q I L i 0i
11、J20(14)类似的一 lnVi+H 2+Vi2dy _ dy dp ds dp ds_ V + ps + V + psEA、/(H1 + + qs 1(15)分离变量并积分，可得qS2 +2VSh _0 i o-2EAH2 + (y + qS P - ,:.H2 + V2i0i1+ _q L(16)在l和h确定的前提下，H、/和S0二个变i0量只有一个是独立的，当其中一个确定后，剩下两个变量可以通过 (14) 和 (16)联立求得。dl, dh, dH和dV的相互关系推导如下。i1V + qS +Jh 2 + + qS D-i0、i01(H 2 + + qS Di01 1 X .=V +,:
12、H 2 + V 2 VH 2 + V 2iii1；H 2+(Vi+qS 0“1VH2 +V2dVi_B1dH+B2dVi6h6hdh _-6h dH + 竺 dV6H6V iidHH 2 + + qs 1i0dH(17)XH 2 + V 2riS 1+ + EA qVVH2 +V2i(18)V + qSi0=.H2 +G/ + qS)2 i0吧 _ B3 dH + B4 叫2.4 各种模拟方法的对比研究为了对索的三种模拟计算方法进行对 比研究,我们取用工程实践中常采用的平行 钢丝拉索或索股的力学参数进行计算研究。索的弹性模量取200GPa；索单元水平投影长 度l取10500m；索单元与水平面的
13、夹角a1080,拉索上端固定,下端水平约束,竖向自由,计算其竖向发生单位位移时所需力，即为其下端的竖向刚度，如图4所示。T -K3Ki1.151.10K/K a=1003K /K a=101 3K/K a=102 3K/K a=2003K/K a=20().95().9()1)2)3)4)5)6)l (m).85图5 竖向刚度比(o=60OMPa,a=10、20)K3 /KiK /K a=3003亠 K /K a=301 3K /K a=302 3K /K a=4003_-_K /K a=40图 4 索单元受力模式若采用桁架单元不考虑垂度效应，也不考虑初拉力提高刚度，那么拉索下端的竖向0100200300400500600l (m)0.0.0.85刚度为：图6 竖向刚度比(o=60OMPa,a=30、40)_ EA cos a sin 2 a0l(19)对于考虑垂度影响的Ernst公式计算拉索下端的竖向刚度：3K/iK,K /K a=5003直 _K /K a=50_a_K/K a=50K /K a=6003_K /K a=60E Acosa sin 2 aK =-ff（20）1l对于考虑初应力刚度提高的拉索模拟方法，下端的竖向刚度：590. 0.0.850100200300400500600l (m)图7 竖向刚
