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1、一元二次方程【知识点1】一元二次方程的概念只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程一般形式：ax2bx+c=0(a0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。例：1、判别下列方程是不是一元二次方程 (1)2x-x-3=0 (2)-y=0 (3) t=0 (4) x-x=1 (5) x-2y-1=0 (6) -3=0 (7)(x+2)(x-2)=(x+1) (8)3x-+6=02、若关于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，则a的值是 （ ）（A）2（B）2（C）0（D）不等于23、已知关于的方程：（1） m为何值
2、时方程为一元一次方程；（2） m为何值时方程为一元二次方程。【知识点2】一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：，其中是二次项，叫二次项系数；是一次项，叫一次项系数，是常数项。（1）“”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。例：1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)X2-10x-900=0 (2)2x2-15=0 (3)x2+3x=0 (4)(x+2)2=3 2、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a、b、c的值.(1) ； (2)
3、 (3) 3、方程的一般形式为 。【知识点3】一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解。例：1、已知方程的一个根是1，则m的值是 。2、若是一元二次方程的一个根，则 。3、已知关于的一元二次方程 的一个解与方程的解相同。求的值；【知识点4】一元二次方程的解法（1） 直接开平方法： 对形如(x+a）2=b（b0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 X+a= =-a+ =-a-（2） 配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；配
4、方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；如果b0就可以用直接开平方法来求出方程的解；如果b0，则原方程无解（3） 公式法：一元二次方程的求根公式是；（4） 因式分解法：如果则。利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如: 2(x4) =3（x4）中，不能随便约去x4。注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法1、解方程： （1） （2）2、解下列方程：（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）（9） （10）【知识点5】一元二次方程根的
5、判别式对于一元二次方程的根的判别式是：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。提示：若方程有实数根，则有。1、关于的一元二次方程两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D）2、在下列方程中，有实数根的是 （ ）（A） （B） （C） （D）3、当m满足何条件时，方程有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？4、关于的方程无实根，试判断关于的方程的根的情况。5、已知关于的一元二次方程，求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。6、将一条长20m的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。（1） 要使这
6、两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2） 两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。【知识点6】一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程的两个实数根为，则。（利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。）利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如。解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。1、方程与方程的所有根的乘积是 2、两个不相等的实数m,n满足，则mn的值为 。 3、已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求m的值。4、关于的
7、一元二次方程有两个实数根，且，求m的取值范围。5、已知方程5x2+kx10=0一个根是5，求它的另一个根及k的值。6、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足，求k的值。7、设是关于的方程的两个根，且满足，求m的值。8、已知：ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5，问：k取何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？【知识点7】一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。1、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率
8、是 。2、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。3、一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。4、（2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图121），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽5、西瓜经营户以2元千克的价格购进一批小型西瓜，以3元千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元千克，每天可多售出40千克，另外
9、，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，且使每天的销量较大，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？6、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t3）。那么，当t为何值时，QAP的面积等于2cm2?【针对性训练】 一、选择题1、若 A B、2 C、2 D、2、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为
10、（t-）2= D.3y2-4y-2=0化为(y-)2=3、关于x的一元二次方程的一个根为x=0，则m的值为（ ） Am=3或m=1 Bm=3或m= 1 Cm=1 Dm=3 4、(2009济南)若x1 ，x2 是方程x2 5x+6=0的两个根，则x1 +x2的值是（ ） A .1 B.5 C. 5 D.65、(2009眉山) 若x1 ，x2 是方程x2 3x1=0的两个根，则+的值为（ ） A.3 B.3 C. D6、(2009潍坊) 若x1 ，x2 是方程x2 6x+k1=0的两个根，且，则k的值为（ ） A.8 B. 7 C.6 D.57、(2009成都) 若关于x的方程kx 2x1=0有两
11、个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A.k1 B. k1且k0 C. k1 D. k1且k08、如果在1是方程x+mx1=0的一个根，那么m的值为（ ） A2 B3 C1 D29、方程2x(x-3)=5(x-3)的解是（ ） Ax=3 B.x= C.x1=3,x2= D.x= -310、若n是方程的根，n0，则m+n等于（ ） A7 B6 C1 D111、关于x的方程的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ） Am0，n0 Bm0，n 0 Cm0，n = 0 Dm0，n012、以52和5+2为根的一元二次方程是（ ） A B C D 13、已知，是方程xx3=0的两根，那么值是（
12、） A1 B5 C7 D、14、关于x的方程 有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（ ） A2 B1 C0 Dl15、方程解是（ ） Ax=1 Bx=0，x=3 Cx=1，x=3 Dx=1，x=316、若t是一元二次方程axbx+c=0(a0）的根，则判别式=b4ac和完全平方式M=(2at+b)的关系是（ ） A=M BM CM D大小关系不能确定二、填空题1、已知一元二次方程x +2x8=0的一根是2，则另一个根是_.2、(2009泰安) 若关于x的方程x +（2k+1）x+2k=0有实数根，则k的取值范围是_3、两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是_4、关于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是 _.5、已知一元二次方程x3x+1=0的两个根为x，x那么（1+ x）（1+ x）的值等于_.6、已知一个一元二次方程x+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是_.7、如图，在 ABCD中，AEBC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x+2x3=0的根，则 ABCD的周长是_ EABDC8、关于x的方程 是一元二次方程，则a=_.三、解方程：(1)2(2x-3)2=32; (2)3y(y-1)=2(y-1
