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1、自主探究、合作交流“直线与圆的位置关系”教学课例1.教学实录老师：现在我先给每位同学封个官（学生一脸惊讶）-“船长”，可不是个“傀儡船长”哟，待会儿是要你下命令的（学生一脸好奇，充满着期待）。请看屏幕（多媒体展示）：一艘轮船在沿直线返回港口的过程中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，为了使轮船不会受到台风的影响，这艘轮船是否需要改变航线？（学生情绪一下子高涨起来，个个瞪大了眼睛，有磨拳擦掌之势）老师：别着急，请各位“船长”先探讨一下：这个问题可归结为什么数学模型来解决？（独立思考后，各小组迅速展开讨
2、论，很快，有了结果）3组：只要判断航线所在直线与圆形区域所在圆有无公共点就可以了！若有，轮船则需要改变航线，否则,不需要。老师：非常好！那么我们如何来判断直线与圆有无公共点呢？本节课我们就来探究这个问题。（板书课题-4.2.1直线与圆的位置关系）老师：请同学们想一想，初中平面几何中，直线与圆的位置关系有哪几种？众学生：相交、相切、相离。（老师板书：1.直线与圆的位置关系：相交、相切、相离）老师：在初中，我们怎样判断？学生1:利用弦心距d与半径r的大小关系来判断。学生2：若dr,直线与圆相离。老师：很好！那么我们如何用现在的知识来判断直线与圆的位置关系呢？请大家看屏幕（多媒体展示），为节省时间，
3、1、4、7、10组解1题，2、5、8组解2题，3、6、9组解3题，看哪一组最先算出正确结果，并写在黑板上。（学生一脸迷惑，但还是立即投入计算）解方程组:3x+y-4=01.12.x2+y2+2y-4=0.x+2y-3=0，x+y-3=03.Jx2+y2+2y-4=0.x2+y2+2y-4=0.（很快有三个小组（4、8、6）的学生代表板书出结果，并等待其他小组基本完成）x=11.1或)=1,x=2J=-2.x=12.、y=1.3.无解。老师：同意这个结果吗?众学生：同意!老师：请各小组探讨，这三个问题有没有几何背景呢？（学生先是一惊，沉思片刻才回过神，思考后随即展开了热烈讨论，很快就有三个小组代
4、表先后站起来）7组：直线ii：3x+y-4=0与圆C:x2+y2+2y4=0有两个不同的公共点A（1,1）,B（2,-2），直线li与圆C相交。2组：直线l2：x+2y3=0与圆C:x2+y2+2y4=0有一个公共点M（1,1）,直线12与圆C相切。9组：直线I3:x+y3=0与圆C:x2+y2+2y4=0没有公共点，直线I3与圆C相离。老师：太有才啦！看来同学们都是数形结合的高手啊！但大家有没有想一想，从中你发现什么没有？（学生语塞，陷入沉思，片刻学生开始争相发言）学生3：方程组有几组实数解，直线与圆就有几个公共点。学生4：方程组的实数解就是直线与圆的公共点的坐标。学生5：直线与圆的位置关系
5、可以通过解由直线方程与圆的方程组成的方程组来判断。老师：对呀，这不正是我们今天要寻找的方法吗？众学生：“啊！”（学生又惊又喜，这时他们才明白老师刚才让解方程组的意图）“老师，初中利用弦心距与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系的方法，现在还能不能用呀？”学生6突然站起来。真是一石激起千层浪，这时其他学生也马上回过神来，“是呀，是呀！”课堂一下子热闹起来，大家显示出对该问题的浓厚兴趣，这也正是我将要提出的问题，于是顺水推舟。老师：同学们爱动脑筋，敢于联想，这很好！那就请大家共同探讨探讨这个问题吧！（这时候，我看到每一位同学都兴致勃勃地讨论起来，很快有了结果）7组：可以使用，只需根据点到直线的距
6、离公式求出圆心到直线的距离也就是弦心距，再将它与圆的半径比较就可以了！老师：同学们太厉害啦！这样我们利用直线的方程和圆的方程就有两种方法判断它们之间的位置关系了，这两种方法分别称为代数法和几何法（老师板书：2.直线与圆的位置关系的判断方法：（1）代数法；（2）几何法）。下面请大家再用几何法验证一下前面我们的判断！“两种方法完全一致！”不一会，很多同学几乎喊起来。老师：那么这两种方法谁优谁劣呢?（经短暂的思考、议论后）学生7:几何法运算量要小些。学生8:代数法能把几何问题代数化。学生9:几何法更直观、更易理解。老师：大家说得都对，代数法和几何法体现了数形结合的思想，几何法确实比较简捷，但在判断直
7、线和抛物线的位置关系时就无能为力了，而代数法更具有普遍意义。现在大家可以完成你做船长的职责了，可以使用计算器。（这时学生情绪更加高涨）“老师，轮船不必改变航线！”很快，众学生兴奋地喊起来。老师：哪位“船长”上来，说说你们的理由。学生10：先建立平面直角坐标系如图所示，求出航线所在直线的方程为4x+7y-280=0,圆形区域所在圆的方程为x2+y2=900,再求出圆心到直线的距离约为34.7,大于半径30,直线与圆相离，即航线与圆形区域没有公共点，所以轮船不必改变航线！Zx+7y280=0学生11：我也是先求出直线和圆的方程，然后解方程组o;，此方程组无解，直线与圆相x2+y2=900离，即航线
8、与圆形区域没有公共点，所以轮船不必改变航线！学生12:我没去求直线和圆的方程，而是利用平面几何的知识求出台风中心到航线的距离,7040d=二生34.7,大于半径30，航线与圆形区域没有公共点，所以轮船不必改变航线！.702402老师：看来同学们都是非常称职的船长！众学生：耳B!（学生兴奋地伸出了手指）老师：由前面我们知道，直线11与圆C相交成弦，那么如何求所得弦的长度呢？（正当学生还沉浸在喜悦之中时，我乘胜追击，又把他们拉回来，同时老师板书：3.求圆的弦长问题）“由于已经求出两交点坐标，所以利用两点间的距离公式即可得弦长为JT5”我话音刚落，学生13就站了起来。“我没利用它们的交点坐标，而是先
9、求出圆心到直线11的距离为1,再利用平面几何知识求得弦长一半为10就可求得弦长了”刚说完，学生14又站起来说。2学生15:我赞成14同学的方法，因为这种方法省去了解方程组求交点的运算，较为简捷。老师：非常好！现在我们再来看一个相切的问题（多媒体展示，同时老师板书：4.求圆的切线方程问题）：求过圆C:x2+y2+2y4=0上一点M（-1,1）的圆的切线方程），谁能上来板演？学生16先上来，不久，学生17也上来了。（待全班学生基本完成）老师：先请16同学来讲一讲你的思路吧。学生16:由于切线过已知点M,所以可先设出它的点斜式，再根据圆心到切线的距离等于半径，解出其斜率k,即得切线方程。老师：17同
10、学再来讲一讲吧。学生17:由于切线与过切点的半径垂直，所以由半径CM的斜率就能求得切线的斜率，然后再根据点斜式即得切线方程。老师：这两名同学思路清晰，书写规范，这就是完美！请同学们再研究一个类似的问题（多媒体展示）：求过点N（J5,1）的圆C:x2+y2+2y4=0的切线方程。很快学生18上来板演。18同学刚写完，下面的同学就开始了激烈争论。老师：谁来说说自己的想法？学生19:18同学推理严密，计算准确，所求切线就是一条！学生20:我不同意他的观点，因为点N在圆外，而过圆外一点，一定可以向圆引两条切线，所以所求切线应有两条！学生21:我同意20同学的观点，18同学设的切线的点斜式，但所求切线未
11、必一定存在斜率，所以他丢失了不存在斜率的那条切线X=45”这时，教师里响起了热烈的掌声，我脸上也露出满意的笑容，我已经不必再说什么了。老师：好！今天我们就到这里（学生仍意犹未尽），下面请大家把这节课的所历、所悟、所获总结整理一下吧！（学生各自投入整理，待下课铃响）老师：最后，再给各位“船长”留一项任务：为以防万一，船长还必须知道，当轮船航行到什么位置时距离台风圆形区域最近，最近距离是多少？2.教学感悟“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验
12、数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”(参见文3)这是新课程标准的基本理念，也给我们广大教师提出了更高的要求，那么如何在课堂教学中更好地体现这一理念呢？(1)叶圣陶先生说过：“教材无非是个例子”，作为教师应该立足于教材，但绝不能拘泥于教材，而应注重对教材的挖掘、开发和补充，把教学内容进行再设计，全方位地为学生搭建学习平台，让学生置身于一种“开放、多元、科学、生动”的情景中。(2)在教学过程中，学生应是主体，教师只是一个引导者或参与者，主要职责是不断地创设情景，引导学生独立深入的思考，此时要多留给学生一定的时间和空间。学生初始的回答可能不完整，甚至有错误，这时教师仍应及时给予肯定和鼓励，引
13、导学生再思考、再讨论，相信学生是能够自主地给予修正、补充和完善的。这种放手让学生自主地探求知识的尝试，能够使学生体验知识获得的过程，这样学生对知识才会有深刻的认识。(3)教学过程中，问题的设置十分重要，如果问题太简单，如大多为填空式的，学生只需回答“是或不是”，不会引起学生的兴趣和激情。如果问题太难了，学生难以回答，造成冷场的现象，还可能会影响学生的自信心。教师设置的问题应把新、旧知识联系起来，要有延续性、层次性和挑战性，对学生来说，知识是熟悉的，但摆在他们面前的问题情景却是陌生的，这种既熟悉又陌生的内容最能激起他们思考的兴趣，自然会取得理想的教学效果。(4)这节课后，总感觉有不少的遗憾，整堂课基本还是由老师来操纵，一直是学生回答老师的问题，而很少让学生提问题，没有真正实现师生间的平等交流。在保证完成教学任务的同时，如何把握课堂开放的程度？面对相对较大班额，怎样才能保证合作交流的有效性？面对学校、家庭和社会的不同需要，又如何实现成绩与素质参考文献1普通高中课程标准实验教科书数学2普通高中课程标准实验教科书数学3普通高中数学课程标准(实验)的双赢？这都是值得我们去探究的现实问题。2必修A版.人民教育出版社，2008.6.2必修A版教师教学用书.人民教育出版社，2008.6.人民教育出版社，2008.4.
