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1、 2 排列自主整理1.一般地,从n个不同的元素中取出m(mn)个元素,按照_排成一列,叫作从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.我们把有关求_问题叫作排列问题.2.我们把_,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作_.3.排列数A式的展开式为:A=_,规定A=_.当n=m时,A=_.4.n的阶乘的展开式为:n!= _,规定0!=_,利用阶乘表示排列数A的展开式为:A=_.高手笔记 排列数公式A=n(n-1)(n-m+1)的特点是:从自然数n开始,后一个因数比前一个因数小1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.当m=n时,排列数公式为A=n!.名师解惑1.如何理解排列的定义?剖析
2、:排列的定义包含两个方面的含义:一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排列”.因此,当两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也完全相同时,它们才是同一个排列,元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而顺序不同的排列,都不是同一个排列.定义中规定给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况,也就是说,如果某个元素已被取出,则这个元素就不能再取了,否则就变成了取出两个相同元素.定义中的“一定顺序”是与位置有关的问题,对有些具体情况,如取出数字1,2,3组成三位数,就与位置有关,因123和132是不同的三位数;但如取出数字1,2,3,考虑它们的和,则与位置无关.2.正确区分排
3、列与排列数两个定义剖析:“排列”与“排列数”是两个不同的定义.一个排列是指从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定顺序排成一列的一种具体排法,它是具体的形式,而不是数;而排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数,即排列共有多少种形式,它是一个数,如从a,b,c中任取两个元素的排列有以下6种:ab,ac,ba,bc,ca,cb,每一种都是一个排列,而数字6就是排列数.3.在解答有关排列问题的应用题时应注意什么?剖析:(1)注意排列的有序性,分清全排列与选排列,防止重复与遗漏;(2)对受条件限制的位置与元素应首先排列,并适当选用直接法或排除法(间接法);(3)同一个问题,有时从位置出
4、发较为方便,有时从元素出发较为方便,应注意灵活运用;(4)从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”,是解答排列应用题中常用的有效方法,应注意培养运用这些方法的意识,同时要注意方法的积累;(5)要通过解答排列应用题,深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的认识,培养“全局分类”和“局部分步”的意识,并在具体操作中确保:分类要使得各类的并集等于全集,任意两类的交集等于空集,这样才能“不重不漏”;分步要使得各步具有连续性和独立性,保证“不重不漏”.4.排列问题的常见类型和解题策略是什么?剖析:排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题,大部分排列问题都可以转化为这两类问题
5、.对有约束条件的排列问题,应注意以下类型:某些元素不能排在或必须排在某一位置;某些元素要求连排(即必须相邻);某些元素要求分离(即不能相邻).其基本解法是:有特殊元素或特殊位置,通常先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理元素(位置)法(即优先法);某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,称这种方法为“捆绑法”;某些元素不相邻排列时,可选排其他元素,再将这些不相邻元素插入空档,称这种方法为“插空法”.对于较复杂的排列问题常常通过试验、简化等手段使问题直观化,从而寻求解题途径.常用思维形式有直接和间接、逆向思维等.讲练互动【例1】计算下列各式
6、的值:(1);(2)A分析:利用排列数A的展开式A=求解.解:(1)=.(2)由,解之得n4,nN+,n=4.原式=A+A=28!=80 640.绿色通道:使用排列数公式A时,注意m,nN+,mn等限制条件.变式训练1.证明:A证明:左式=+k=右边.等式成立.【例2】7名班委中有A、B、C三人,有7种不同的职务,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任,有多少种分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选这三人中的1人担任,有多少种分工方案?分析:显然这是一道排列应用题,问题(1)可分两步进行,优先安排受限制的正、副班长,然后再排其余5名班委职务.问题(2)的
7、反面情形比较简单,可采用排除法求解.解:(1)先安排正、副班长有A种方法,再安排其余职务有A种方法,依分步乘法计数原理,共有AA=720种分工方案.(3)7人的任意分工方案有A种,A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种,因此A、B、C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A-AA=3 600种.绿色通道:排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置,并非一定要排成“一行”.“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用,在处理“至多”或“至少”等问题时非常有效.当然问题(2)亦可以逐一分类,算式为AA+AA+A=3 600种.变式训练2.用2,3,4,5排成四位数:(1)无重复数字的四
8、位数有多少个?(2)无重复数字的四位偶数有多少个?(3)2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个?(4)2在千位上的无重复数字的四位数有多少个?(5)5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个?解:(1)A=24个.(2)个位上只能是2或4,有2A=12个.(3)所有的四位数中,2在3的左边的数与2在3的右边的数各占一半,共有A=12个.(4)2在千位上,3,4,5只能在另外的三个位置排列,有A=6个.(5)法一:5不在十位、个位上,所以5只能在千位或百位上,有2A=12个.法二:从A中减去不符合要求的(5在十位、个位上),有A-2A=12个.【例3】7名师生站成一排照相留念,其中老师1人
9、,男生4人,女生2人,在下列情况下各有不同站法多少种?(1)两名女生必须相邻而站;(2)4名男生互不相邻;(3)教师不站中间,女生不站两端.分析:这是一个有限制条件的排列问题,可以运用“捆绑法”“插空法”等排队技巧.解:(1)2名女生站在一起有站法A种,视为一个元素与其余5人全排,有A种排法,有不同站法AA=1 440种.(2)先站老师和女生,有站法A种,再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人,有插入方法A种,共有不同站法AA=144种.(3)中间和两侧是特殊位置,可如下分类求解:(1)老师站两侧之一,另一侧由男生站,有AA种站法,(2)两侧全由男生站,老师站除两侧和正中外的另
10、外4个位置之一 ,有AAA种站法.共有不同站法AA+AAA=2 112种.绿色通道:(1)为要求某些元素相邻,可用“捆绑法”;(2)为要求某些元素不相邻,用“插入法.变式训练3.五个人排成一排,按下列要求分别有多少种排法?(1)其中甲不站排头;(2)其中甲不站排头,乙不站排尾;(3)其中甲、乙两人必须相邻;(4)其中甲、乙两人必须不相邻;(5)其中甲、乙中间有且只有一人;(6)其中甲必须排在乙的右边.解:(1)如先排甲,有4种排法,然后排其余4人,有A种排法,故有4A=96种;如先排排头,有4种排法,然后其余4个位置有A种排法,故有4A=96种;如先不考虑排头,则5个人排成一排有A种排法,其中
11、甲在排头有A种排法,所以甲不站排头有A-A=96种.(2)如甲在排尾,其余四人有A种排法,如甲排在中间三个位置中一个,而乙不在排尾,则有AAA=54种,共有A+54=78种;如先不考虑排头、排尾,则五个人排一排有A种排法,其中甲在排头有A种,乙在排尾有A种,甲在排头且乙在排尾共有A种.故共有A-2A+A=78种.(3)将甲、乙两人捆在一起作为一个元素,与其他3个元素作全排列有A种,然后甲乙再作全排列有A种,故有AA=48种.(4)五个人排成一排有A种排法,除去甲、乙两人相邻的排法48种,故共有A-48=72种.如先排甲、乙以外的三个,则有A种排法;这三个之间及两端留出4个空位去排甲、乙两人有A
12、种排法,故共有AA=72种.(5)甲、乙两人有A种排法,从剩下的三人中选一人插入甲、乙中间,有A种,然后再将三人看作一个元素,和其他两个元素作全排列,有A种,故共有AAA=36种.(6)五个人全排列有A种,甲在乙的左边的排法种数与甲在乙的右边的排法种数各占一半,故共有A=60种.【例4】5人围桌而坐,共有多少种坐法?分析:对于环状排列我们可以想象成这5人是手拉手的排列,因此,可采用剪断直排列法求解.由于5个人有5个连接点,故有5种剪断直排列的方法,而对于同一环状排列,这5种剪断方法会形成5种不同的直排列.解:5人围桌而坐,共有A=24种不同的坐法.绿色通道:一般地,当n个不同元素作圆形排列时,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有A种排法.变式训练4.4名学生和2名老师围圆桌入座.(1)有多少种不同的入座方法?(2)如果老师必须相邻,有多少种不同的入座方法?解:(1)6人全排列有A种方法,由于6种剪断直排列对应同一种圆排,故共有A=120种不同的入座方法.(2)由于老师必须相邻,要将2名老师看作1人,故只有5种剪断法,但老师又可以相互交换位置,故共有=48种不同的入座方法.