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1、第五讲 实数的完备性I 基本概念与主要结果一 实数空间 1 无理数的定义人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后由于开方与不可公度问题 毕达哥拉斯（公元前约580约500）：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收300门徒组织了一个“联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序”，这里的数指的是自然然及自然数之比，即“有理数”，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以1为直角边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后
2、来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定义事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分为了让实数与数轴上的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限不循环小数定义为无理数一个无限不循环小数，取其位小数的不足近似值与过剩近似值，与均为有理数，且（），可见以无限不循环小数定义无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理，即承认它是正确的历史上引
3、进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有理数列的基本序列法戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置，假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集如果折断处是有理点，那么它不在左子集，就在右子集，这样分割就确定了一个有理数，即的最大数或的最小数如果中没有最大数，中也没有最小数，这个分割就确定了直线上的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学系沈燮昌编写的数学分析，高等教育出版社，1986年）康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直
4、观，但其思想在近代数学中是十分有用的，影响深远 从古至今，数学的发展大致经历了五个时期：（1）萌芽时期（公元前600年以前）；（2）初等数学时期（公元前600年到17世纪中叶）：欧氏几何、算术、初等代数、三角等；（3）变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）：微积分的建立、解析几何、运动观点等；（4）近代数学时期（19世纪20年代到20世纪40年代）；（日前大学中的主要数学课程）（5）现代数学时期（20世纪40年代以来）：显著特点：计算机的广泛应用定义1 有理数列称为是基本列，若，当时，有 （1）定义2 两个有理数基本序列和称为是等价的，若 （2）将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类
5、有理数可表为基本列的极限，如常数列这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理数时，称之为无理数此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性，称这种性质为完备性2 实数空间的定义公理1 （域公理），有（1）交换律：，；（2）结合律：，；（3）分配律：；（4）两个特殊元素0与1：，有，；（5）每个，关于“+”的逆元，关于“”的逆元（此时），有，公理2（全序公理）与“+”、“”运算相容的全序公理（1），下列三种关系，有且仅有一个成立；（2）传递性：若，则；（3）与“+”相容性：若，则，有；（4）与“”相容性：若，则公理3（阿基米德（Archimede
6、s）公理），使得公理4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界由此可定义：定义3 实数空间是这样的集合，在其上定义了“+”、“”运算，以及序关系“”，满足上述四组公理，中的元素称为实数二 实数基本定理1 基本定理定理1（Dedekind确界定理）任何非空数集，若它有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界定理2（单调有界定理）单调有界数列必收敛定理3（Cauchy收敛准则）数列收敛的充要条件是：，当时，有定理4（Bolzano-Weierstrass致密性定理）有界数列必有收敛子列定理5（Weierstrass聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点定理6（Cantor区间套定理）任何闭区间套必有
7、唯一的公共点定理7（Heine-Borel有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖说明：定理16属于同一类型，它们都指出：在一定条件下，便有某一种“点”的存在这种点分别是：确界（点）、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点定理7属于另一类型，它是前六个定理的逆否形式，不论用前6个定理来分别证明定理7，还是用定理7分别证明前6个定理，都可用反证法来证明，而前6个定理都可以直接推出2 重要概念定义1（确界）设，若满足：（1），即是的上界；（2），使得，即不是的上界则称是的上确界，记为若，满足：（1），有；（2），有；则称是的下确界，记作 即：上确界是最小的上界，下确界是最大的下界定义2 设
8、闭区间列具有如下性质：（1），；（2）；则称为闭区间套，简称区间套定义3 设，若，使的任何邻域均含有中无穷多个点，称为的一个聚点定义3 设，若的任何去心领域内都含有中异于的点，即，称是的一个聚点定义3 设，若存在彼此互异的点列，使得，称为的一个聚点定义4 设，为开区间构成的集合若中任何一点都含在中至少一个开区间内，即，使，称是的一个开覆盖，或称覆盖若中开区间的个数是无限（有限）的，称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）3 七个定理的环路证明例1 确界定理单调有界定理证 不妨设数列是单调增有上界，由确界定理知具有上确界，记为，显然就是其极限事实上，由上确界定义知，使，由单增性知，当时，有，即 例2
9、单调有界定理闭区间套定理证 设是一区间套，则单增有上界，由单调有界定理知有极限，且，由区间套的定义知，又单减有下界，所以 ，此说明，下证是唯一的，设变满足上式，即，则有（）即例3 闭区间套定理有限覆盖定理证 设为的一个无限开覆盖，假设定理结论不成立，即不能用中有限个开区间覆盖将等分成两个子区间，则其中至少有一个半区间不能被中有限个区间覆盖，记之为，将等分成两个小区间，则其中至少有一个半区间不能被中有限个区间覆盖，记之为，如此下去便得一闭区间套，其中每一个区间不能被中有限个开区间所覆盖由闭区间套定理，存在唯一的点，由于是的覆盖，故，使得，由保序性立得：当充分大时，即，这与的构造相矛盾，故命题为真
10、例4 有限覆盖定理聚点定理证 设是有界无限点集，则，为有限实常数，使得若存在聚点，则该聚点必属于（容易证明之外任何一点都不是的聚点，因此只需证明：若不存在聚点，则矛盾事实上，假设不存在聚点，即中任一点都不是的聚点，由聚点定义，使得中只含有中有限个点，记，显然是的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个邻域覆盖，从而亦覆盖了由的性质立得中只有有限个点，矛盾例5 聚点定理柯西收敛准则证 设是中任一数列，满足条件：，有 （3）由此易证是有界的（事实上，对 当时，有， 从而 ，取，则），记，则S为有界集若为有限集，则中至少有一个元素在中出现无限多次，取此构成一常数子列，则它是收敛的，设其极限为a，即，
11、由条件（3）可得数列收敛于a若是无限集，则由聚点定理知至少有一个聚点，设为，则有事实上，由聚点的等价定义知，存在中彼此互异的点列（从而是的一子列），有又，由（3）式立得例6 聚点定理致密性定理证 设是有界数列，记，若为有限集，则由例5的证明过程知存在收敛子列若为无限集，则存在聚点，由聚点的等价定义立明（过程如例5）例7 致密性定理柯西收敛准则证 设满足柯西收敛准则中的条件，则是有界数列，则必存在收敛子列，由此可证整个数列收敛（参见例5）例8 柯西收敛准则确界定理证 设为非空有上界数列，由实数的阿基米德性质，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即，使得今分别取，则存在，使得为的上界
12、，但不是的上界于是， （4），有， （5）由此易得，于是，有，由柯西收敛准则知收敛，记下证是上确界由（4）易得是其上界其次，由得，当，有，由（5）知：，有此说明为的上确界4 闭区间上连续函数性质的证明定理1（有界性定理）若函数在上连续，则在上有界证 由连续函数的局部有界定理：，及，有，构造开覆盖，由有限覆盖定理立明定理2（最值定理）若函数在上连续，则在上有最大、最小值证 由定理1知在上有界，故由确界定理，在的值域有上确界，下证：，使若不然，则，有令，易见为上正的连续函数，故在上有上界，设为，则有，解之得 ，这与为在上的上确界矛盾定理3（零点定理）设在上连续，且，则，使证 不妨设（则）记，显然非
13、空，且是有界集，从而有下确界，记下证事实上，由极限保号性知：，使，；（），；（）由此易得，即其次，若，不妨设，则由连续函数的局部保号性得： ，使在其内，特别地，这与是的下确界矛盾故必有思考题（哈尔滨工大2002）设.证明：，使得定理4（一致连续定理）若在上连续，则在上一致连续证 由在上连续知，有 （5）构造的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在的一个子覆盖，覆盖了，记，于是，对任何，则必属于中某个开区间，设，即，此时有由（5）得，从而得4 例题选讲例9 用区间套定理证明定理1-5证 都可用二等分方法证明（1）确界定理设为非空有上界数集，为的一个上界若有最大值，则最大值即为上确界，若无最大值，任取，
14、将二等分，若右半区间中含有中点，则记右半区间，否则记左半区间为，然后将二等分得，则至少有一个半区间含有E中点，记之为，如此下去，得一闭区间套，其每一闭区间均含有中点，由闭区间套定理，存在唯一的公共点，下证由的构造知：，有，即是的上界；又，则，使，由的构造知：，此说明（2）单调有界定理设，则，用同样的方法割分即可证之（3）Cauchy收敛准则满足Cauchy收敛准则条件的数列（基本列）一定是有界数列，即，使，然后对进行二等分，选含有无穷多项的那一半区间为，如此下去，由闭区间套立明（4）致密性定理同方法（3）（5）聚点定理同方法（3）例10 用定理15证明区间套定理证（1）利用确界定理设是一区间套，则单增且有界，从而有上确界，由单调有界定理的证明知 ，（2）利用单调有界定理由单调有界定理知，且，再证唯一性即可（3）Cauchy准则的充分性由知满足柯西定理的条件（这是因为当时，由区间套定义知），从
