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1、AVV*第二早中值定理与导数的应用、知识脉络、重夕尔推广推广拉格朗日定柯西定理重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间求函数的极值，求具f问题的最大最小值。特殊g x =x三、问题与分析2 难点：柯西定理、泰勒展式广不等式证明、特函数作图泰勒公式1. 学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题: 洛尔定理是一个函数满足 3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论; 定理的条件是充分的，但不是必要的; 三个定理都是存在性定理，只肯定了有存在，而未指出如何确定该点2. 学习罗必塔法则应注意问题：0co 罗必塔法则仅仅用于0型和一型未定式；0旳 如
2、果lim x）不存在（不包括 吆），不能断言lim丄区）不存在，只能说g xg x明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限； 0o0，:0也叫未定型，必须转化为-型或二型之后,0旳方可用罗必塔法则求极限；11思路“：0型转化为:：或0 型；旳0 0 *：、:-:可通分转化为-型或一型；0旳00型转化为eln0e0ln0，其中指数是0 V型；1 :型转化为eln1：、ln1，其中数是：0 ；二0型转化为e1心二e0l“，其中指数是0 型。 罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用；0旳 有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是-型或一型。3. 学习函数单调性应注意的问题:
3、如果X在某个区间内只有有限个点处等于零，在其它点处均为正（或 负）时，则函数f X在该区间内仍为单调增加（或单调减少）； 求单调区间的步骤：先令f x =0,求出驻点与不可导点，这样的点将 定义域分成了几个区间；再在每个区间内验证 f x的符号，若为正， 则单增，若为负，则单减。4 学习函数极值应注意的问题： 函数极值是一个局部性的概念，它只与极值点邻近的所有点的函数值相 比较是大还是小，并不是说它在定义区间上是最大或最小。因此一个函 数可能存在其极大值小于极小值的情形； 求函数极值的步骤：先求 f x =0的解以及f x不存在的点，这些点 是可疑的极值点；其次，可疑极值点将 f x的定义域分
4、成了几个区间， 在每个区间考察f x的符号；最后确定极值点； 极值点与极值是两个不同的概念。5学习函数最值应注意的问题： 极值点是函数在一点附近函数值的大小比较， 是局部性质，而最大值最 小值是在区间a,b上的性质； 最值在区间的端点和极值点上产生。所以确定最大值最小值的步骤为：首先求出定义域；然后求出 X，求出可疑点；最后比较可疑点的函 数值与边界处的函数值。6学习凹凸性应注意的问题： 用一阶导数确定单调区间，用二阶导数确定凹凸区间及拐点，确定拐点 时不但需要X =0,而且还要在该点的左右变号； 拐点一定是坐标形式的点 x, f x，拐点的表达与极值点的表达不同， 拐点是曲线上的某一点。7学
5、习渐近线应注意的问题： 函数的图形不一定有渐近线； 渐近线分为水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线。8学习泰勒展开式应注意的问题： 麦克劳林展开是特殊的泰勒展式； 用关于xXo的n次多项式近似表示函数f x时，一定有一个余项，该余项即误差一定是x - x0 n的高阶无穷小量； 应该熟记一些常用的泰勒展式。9证明不等式的方法有： 利用单调性； 利用中值定理关键在于构造一个函数f x，这就需要分析不等式的特点。10.求具体问题最值的步骤 分析问题，明确求哪个量的最值； 写出函数关系式。确定函数关系常常要用几何、物理、化学、经济学等 方面的知识，函数关系式列出后，依具体情况要写出定义域； 由函数式求驻点
6、，并判断是否为极值点； 根据具体问题，判别该极值点是否为最值点。一般如果函数在a,b 1连续，且只求得唯一的极值点，则这个极值点就是所求的最值点。 最后写出最值。四、解题格式例1函数f X =2x2 -x-3在区间-1,-上是否满足罗尔定理的条件？女口-2满足求出定理中的 O解：因f x是多项式，故f x满足： 在-1,3上连续；IL 2(3、 在T, 一内可导，且f(x)=4x-1 ； 2丿 f (-1 )= f 一 =0 ；12丿所以fx在1,3上满足罗尔定理条件令f =0得=-4例2求极限lirxsin x m0x3.解：原式0型 limc(osx0型 limsinx型 IimcosxJ
7、03x =x 0 6xJ0 66例 3 设x ： 0 ,试证 ex . 1 x.证法一：用中值定理设f t =弍1 t，则 ft在X,01上连续； ft在x,0内可导，且t =et -1则存在：x,0，使=-鼻0 x即 x e-1 = ex -1 -x因为 0，故 0 ：e 1又因为x : 0，故x e -10，从而所以ex 1 x.证法二：用函数的单调性设 f x = ex -1 - x，则 f x = ex -1 因为 x : 0，故 ex - V： 0，即 f x ： 0 从而当x 0时f x是单调减少的又 lim f x = lim ex -1 - x = 0x50一XT所以当X ：0时，有f X f 0一 =0即 ex -1 -x0 例4求函数f x二x亏x 5的单调区间和极值。 解：f x的定义域为-：:,:令 f x =0,得 X = 2当x = 0时，X不存在.故定义域分为-：,0，0,2， 2：，列表为02不存在-0+极大值极小值由极值判别法知x=0为极大值点，极大值f 0 = 0, x=2为极小值点，极小值 f 2 A-3 4。f x在-:：,0和2,二 内单调增加，0,2 1内单调减少
