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1、第九部分直线与圆锥曲线70、直线的倾斜角是直线向上方向与轴正方向所成的角，当直线是轴或与轴平行时，直线的倾斜角是0，直线倾斜角的范围是.当直线与轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率.举例已知直线的斜率是，直线过坐标原点且倾斜角是倾斜角的两倍，则直线的方程为.分析：由的斜率是，知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，则的斜率为，所以直线的议程为.71、若直线的倾斜角为，直线的斜率为，则与的关系是：；.举例已知直线的方程为且不经过第二象限，则直线的倾斜角大小为（）来源:Z。xx。k.ComA、；B、；C、；D、.分析：注意到直线的斜率，又直线不过第二象限，则，所以此直线的倾斜角为，选B.72、常
2、见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式，过定点与轴不垂直；（2）斜截式，在轴上的截距为与轴不垂直；（3）截距式，在轴轴上的截距分别为与坐标轴不平行且不过坐标原点.特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为1，或此直线过原点.举例与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A、2条；B、3条；C、4条；D、5条.分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是0）之分.选B.73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解
3、肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.举例过点与坐标原点距离为2的直线方程是.分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线满足题义，故所求直线有两条，其方程为：与.74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线：不全为0）、：，（不全为0）.则的充要条件是且与至少有一个不为零；的充要条件是；与相交的充要条件是.举
4、例1直线斜率相等是的（）来源:学&科&网A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：直线斜率相等，两直线可能重合，不一定有；又两直线，考虑到特殊情况，若都与轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选D.举例2直线过点与以为端点的线段AB有公共点，则直线倾斜角的取值范围是.分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率），再从旋转的角度进行变化研究.若直线与线段AB有公共点，则其斜率存在时的取值范围是：或，或其斜率不存在.因此直线倾斜角的取值范围是.利用数形结合解决这类问题时，困惑的是要求的直线斜
5、率的取值范围问题.可以这样来确定：过定点P的直线（倾斜角为）与线段AB有公共点（PA、PB与轴不垂直），PA、PB的倾斜角分别为，则.若直线的斜率为（存在的话），PA、PB的斜率分别为，当时，则有；当时，则有或. 在解这类问题时也可以利用线性规划的有关知识来求解.设直线的方程为，若与线段AB有公共点（A、B两点在直线的两侧或有一点在直线上），则；若与AB没有公共点（A、B两点在直线的同侧），则.这样可很方便地求出直线的斜率.75、点A、B关于直线对称即是线段AB的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB的中点在上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为1或1时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点
6、关于直线的对称点是；点关于直线的对称点是.举例1将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点与点重合，若点与点D重合，则点D的坐标为；分析：实际上这是一个对称的问题，对称轴是AB的垂直平分线：，D点是C点关于直线的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直（斜率关系）平分（中点坐标）这两个方面列方程组求解.设D点的坐标为，则，且，求得：.举例2抛物线C1：关于直线对称的抛物线为C2，则C2的焦点坐标为.分析：两抛物线关于一直线对称，则它们的焦点也关于此直线对称，只要求焦点关于此直线的对称点即可.抛物线C1的焦点坐标为，所以C2的焦点坐标为.76、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的
7、距离来判断.设圆C的半径是，圆心到直线L的距离是，当时，直线L与圆C相离；当时，直线L与圆C相切；当时，直线L与圆C相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解.举例1已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系是（）A、相离；B、相切；C、相交且不过圆心；D、相交且过圆心.分析：点在圆外，则，圆心到直线的距离，又.选C.关注：若点是圆上的一点，则直线是圆过此点的切线方程；若点是圆外的一点，则直线是此圆过该点有两切线的切点弦的方程.O举例2若圆O：上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是.分析：如图：圆心O到直线的距离为3，与直线距离为2的点的轨迹是与平
8、行且与距离为2的两平行直线（图中虚线）.由题义知直线与圆O有两不同交点，而与圆O没有公共点.因此圆O半径的取值范围是.77、确定圆的方程可以利用圆的标准方程，即确定圆心坐标与半径；也可以利用圆的一般方程，即确定系数D、E、F.要注意的是方程表示圆的充要条件是.确定一个圆的方程需要三个互相独立的条件（因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数）.举例1二次方程表示圆的充要条件是；分析：注意到圆的一般方程中没有这样的项，且二次项系数都为1.则必有，且，此时方程可以化成：.与圆的一般方程比较可以得出：.其充要条件为：.举例2已知圆C被轴截得的弦长是2，被轴分成的两段弧长之比为，求圆心C的轨迹方程.分析
9、：如图，设圆心，圆半径为.因圆被轴截得的线段长为2，圆心到轴的距离为，则根据直线与圆的位置关系，知，又圆被轴所分成的两段弧长之比为，则轴被所截得的弦所对的中心角为直角，圆心到轴距离为，则.则.即所求的轨迹方程为.78、掌握圆的基本特征：圆上任意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线；直线平分圆的充要条件是此直线一定过该圆的圆心；与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）等.ABMNO举例1直线过定点与圆交于A、B两点，则弦AB中点N的轨迹方程为；分析：解决与圆有关的的问题要“对得起”圆.即要抓住圆的几何特征.如图：，M、O都是定点，所以N在以线段OM为直径的圆上，其方程为
10、.注意到点N在圆内，则弦N的轨迹方程为（.ABMO举例2直线过定点与圆交于A、B两点，O是坐标原点，则AOB面积的最大值为；分析：由圆的性质知，AOB是等腰三角形，所以当为直角时，其面积最大，最大值为2.举例3已知A是圆上任意一点，点A关于直线的对称点也在圆上，那么实数的值为.分析：圆上的点关于直线的对称点仍然在圆上，则此直线必过圆心，代入知：.79、两圆之间的位置关系的判断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大小关系.设圆A的半径为，圆B的半径为（不妨设），则有：（1），两圆外离；（2），则两圆外切；（3），则两圆相交；（4），则两圆内切；（5），则两圆内含.关注：两圆的位置关系
11、也可以由两圆的公切线的条数上来分.CMON举例1已知动圆C与定圆M：相切，且与轴相切，则圆心C的轨迹方程是；分析：如图：（1）当两圆外切时，设动圆的半径为，则，C到轴的距离为，则C到直线的距离，那么C到直线的距离与C到M的距离相等，所以点C的轨迹是以CMONM为焦点，直线为准线的抛物线.其方程为：.（2）当两圆内切时，可得C到M的距离与C到直线的距离相等，所以此时点C的轨迹是以M为焦点，直线为准线的抛物线.其方程为：.所以圆心C的轨迹方程为：与.举例2已知，一动圆I过点M与圆N：内切.（1）求动圆圆心I的轨迹C的方程；（2）经过点作直线交曲线C于A、B两点，设，当四边形OAPB的面积最大时，求
12、直线的方程.分析：（1）如图，动圆I与定圆N内切，设动圆半径为，则.那么有：，所以I点的轨迹是以M、N为焦点4为长轴长的椭圆.其方程为.MNIO（2）由知，四边形OAPB是平行四边形.要使得四边形OAPB面积最大，则OAB的面积最大，注意变化中的定值条件.OAB的面积是AOQ的面积与BOQ的面积之差.设A，则.可在联立方程组时，消去变量，保留.ABPOQ设直线的方程为，由.由=，得.由韦达定理得：知.则=.令，那么：，当时等号成立.此时，即所求的直线方程为.80、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆
13、最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”.举例1已知复数满足，则对应点的轨迹是；分析：根据复数的几何意义，复数对应点到与对应点的距离之和为4，看似椭圆，但注意到两定点之间的距离为4.所以对应点的轨迹是以与对应点为端点的线段.来源:学科网举例2设P是以为焦点的椭圆上的一点，若点P满足：，则椭圆的焦距与长轴的比值为（）A、；B、；C、；D、.分析：由题知，又，则.由得.则.则.选D.81、椭圆中一些常见的结论要记住，这对解决选择填空等客观性问题时比较方便，如：椭圆的基本量蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中；椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与
14、两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值；短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值；焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是与；过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为）.举例1一直线过椭圆的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线的方程为；分析：注意到此椭圆的通径长为2，所以此直线的方程为.举例2椭圆上有个不同的点，椭圆的右焦点为F，数列是公差为的等差数列，则的取值范围是.分析：注意到的取值范围是，若数列是递增数列，有，此时.若数列是递减数列则.所以.82、椭圆上任意一点P与两焦点构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形.焦点三角形的周长为定值，利用解三角形的方法可以得出：当时，此三角形的面积为（引起注意的是此结论的推导过程要掌握）.举例已知点，点C在直线上满足，则以A、B为焦点过点C的椭圆方程为.ABOC分析：注意到ABC的面积为2，
