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1、第一章 集合论知识要点与复习自测题一、集合概念和基本运算的知识要点：仔细体会并熟练掌握集合的概念（注意元素与集合的两种关系，集合与集合间的关系，并注意它们的区别），集合的基本运算（并、交、差、余、直积和极限运算）以及运算律（注意体会元素不属于并集，交集，上极限集和下极限集的特点）。复习自测：1、据理说明下面的集合关系是否成立？若不成立，请进一步讨论它们成立的条件：设，是两个集合，（1），（2），（3），（4），（5），（6），2、证明下面的几个常用的集合分解：（1）若（）是一列集合，则 （并集的常用不交分解方法）若（）是一列单调递增集合，则 （单调递增集列并集的不交分解方法）（2）设（）是一列
2、集合，记，则，且（并集的递增分解方法），且（并集的递减分解方法），且（交集的递增分解），且（交集的递减分解）（3）设（）是一列单调递减集合，则（单调递减集列中最大集的不交分解方法）（4）设（）是一列单调递减集合，则3、设（）是一列集合，（1）试写出，的并交运算表示；（2）利用（1）证明（单调集列的收敛定理）：若，则收敛，且；若，则收敛，且；（3）记，据理说明：，（上极限集、下极限集与单调集列的关系）二、集类的知识要点：仔细体会环、代数、环，代数的含义（注意它们的区别），关注它们分别对集合的怎样的运算是封闭的，并了解它们之间的关系（关系如下图）：环 环 代数 代数了解由一个非空集类生成的环（记为
3、），代数（记为），环（记为）， 代数（记为）的含义，并了解它们之间的关系（关系如下图）： 复习自测：1、设， A 的有限子集全体，B 的至多可数子集全体，并规定空集是有限集，据理说明：（1）A 是环，但不一定是代数，并讨论A 是代数的条件？（2）B 是环，但不一定是代数，并讨论B 是代数的条件？2、设，A 的单点集全体，据理说明：（1）A 不是环； （2）的有限子集全体；的有限子集全体的有限子集的余集全体；的至多可数子集全体；的至多可数子集全体的至多可数子集的余集全体三、集合对等的知识要点：仔细体会并熟练掌握映射的象集和原象集（也称逆象集）的性质；仔细体会并熟练掌握集合对等的判别方法【定义法（
4、一一映射法）、对等的性质法、Bernstein定理法】；仔细体会并熟练掌握判断集合基数大小关系的方法【大小关系的定义法（即与子集对等法）、单射或满射法（也称映射法）、并集法】复习自测：1、叙述（1）集合对等的定义；（2）对等的基本性质（自身性、对称性、传递性和集族的不交并集性）；（3）Bernstein定理2、利用恰当的方法证明：（1）设，是两个集合，若，则；注意：，用性质法（2）设，是三个集合，若，且，则注意：以及和，用Bernstein定理四、可数集和不可数集的知识要点：仔细体会并掌握至多可数集的定义及性质；熟练掌握判断可数集或至多可数集的若干方法【定义法、排元素法、与已知至多可数集对等法
5、、至多可数集的性质法】；熟记并会证明一些常见具体的可数集和至多可数集【如：自然数集，整数集，偶数集，奇数集，有理数集，n维空间中的有理点集，整系数多项式全体，有理系数多项式全体，n维空间中互不相交的开区间（或开集）所成的集，区间上的单调函数的不连续点所成的集，n维空间中的点集的孤立点所成的集等等】掌握不可数集的定义和性质；熟记并证明一些常见的具有连续基数的集合【如：1维空间中的长度不为0的各种区间、非空开集、有内点的集；n维空间中的体积不为0的各种区间、非空开集、有内点的集；、；n维空间中的开集全体、闭集全体；可数集的幂集等等】复习自测：1、设（）为一列至多可数集，则（1）是至多可数集，且当中
6、至少有一个为可数集时，是可数集；（2）据理说明不一定是可数集注意：用说明实际上，只要集列（）中，有无穷多个是二元素以上的集，都不是可数集2、证明：中互不相交的开集所成的集族一定是至多可数集；中的开集全体所成的集族为不可数集，其基数3、证明：区间上的单调函数的不连续点（也称间断点）所成的集必为至多可数集4、证明：的孤立点全体所成的集必为至多可数集5、证明：上的连续函数全体所成的集具有连续基数6、证明：，其中为可数基数，为连续基数（即可数集的幂集一定是具有连续基数的集）五、开集、闭集和Borel集的知识要点：掌握开集、闭集的定义与等价条件，并会用它们来判断一个点集是否开集和闭集；掌握开集、闭集的并
7、交运算特征；掌握Lindelof至多可数覆盖定理及其简单应用【例如，证明中的非空开集必可表示成至多可数个开区间的并集等】；理解自密集和完全集的含义，稠密集和疏朗集的含义；掌握稠密集的等价定义，并会用等价定义证明或判断一个集合的稠密性；掌握稠密集和疏朗集之间的一般关系和在一定条件下的等价关系，并熟习一些典型的稠密集【如：有理数集，有理点集，无理数集，无理点集】和疏朗集【如：有限点集，自然数集，整数集，n维空间上的整点集等】记住中非空完全集的基数为连续基数这一结论自测题：1、据理说明：（1）有限个完全集的并集仍为完全集，但一列（可数个）完全集的并集不一定是完全集；（2）完全集的交集不一定是完全集2
8、、证明：（1）疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集不一定是疏朗集；（2）是疏朗的闭集是稠密的开集3、据理说明：疏朗集一定无内点，但无内点的集不一定是疏朗集六、理解Cantor三分集P的构造思想；掌握Cantor三分集P的构造过程以及它的两种表示（如：，）；掌握Cantor三分集的几个常用性质【如：Cantor三分集P是非空的自密闭集即非空的完全集；Cantor三分集P的势为(连续势)；Cantor三分集P是疏朗集（从而它没有内点）；Cantor三分集P为零测集）自测题：1、利用Cantor三分集的特点据理说明：（1）疏朗集不一定是至多可数集；（2）在区间中去掉一个具有连续基数的集不一定会改
9、变区间的长度七、型集，型集，Borel集的知识要点：理解型集，型集，Borel集的含义及生成特点以及型集与型集在余运算下的对偶关系，并会用Baire纲定理【即型集中的每个闭集均无内点，则此型集也无内点】说明和都是型集，但不是型集；和都是型集，但不是型集熟练掌握并熟记上的开集与上的开区间的关系，上的开集与上的半开半闭区间的关系【即开集的结构定理】自测题：1、完整地叙述开集的结构定理2、据理说明：（1）闭集既是型集，也是型集；开集既是型集，也是型集；（2）至多可数个型集的并集仍为型集；至多可数个型集的交集仍为型集；（3）上的至多可数集必为型集，而其余集必为型集；（4）上的有理点集必为型集，但不是型
10、集；上的无理点集必为型集，但不是型集；（5）开集、闭集、型集、型集都是Borel集3、证明：（1）任何型集即可表示成一列单调递增的闭集的并集，也可表示成一列单调递减的型集的并集；（2）任何型集即可表示成一列单调递减的开集的交集，也可表示成一列单调递增的型集的交集八、点与点集，点集与点集间距离的知识要点：理解点与点集，点集与点集之间的距离的含义；掌握点集间距离可达性的条件以及不交闭集可用不交开集分离的性质的含义；掌握函数在上的一致连续性及其简单的应用【如：证明是开集；证明集合间距离的可达性定理；证明任何闭集都是型集，从而开集也都是型集等】自测题：1、据理说明下面的结论是否成立：（1）设，则存在，
11、使得；（2）设，为闭集，则存在，使得；（3）设，为闭集，且，则存在，使得（4）设都是闭集，则存在，使得；（5）设都是闭集，且它们至少有一个有界，则存在，使得；（6）设都是闭集，则存在两个不相交的开集，使得，；（7）设都是闭集，且它们不相交，则存在两个不相交的开集，使得，2、设，证明：3、设，记，则在上一致连续九、集合示性函数（特征函数）的知识要点：了解集合的特征函数（示性函数）的定义以及特征函数与集合的关系自测题：1、设，证明下面的关系：（1）；（2）设，则；若，则；（3）设，则；（4）设，则；若，2、设，证明下面的关系：若（），则（1），；（2），；若（）收敛，则函数列（）也收敛，且；若，则函数列，且；若，则函数列，且十、实函数逆象集的知识要点：熟习函数逆象集的记号【例如，设，表示中使函数值属于的所成的集称为的逆象集】；熟习逆象集保持集合的关系和运算的性质；能熟练地通过中的数集的分解，利用逆象集的性质导出逆象集的相应的集合分解自测题：利用逆象集的性质证明下面的集合等式：1、设，记，则（1），；（2） ，（中使函数值大于零的点所成集的递增分解）（3）（中使函数值不等于零的点所成集的递增分解）2、设（称为广义实函数），其中，称为广义实数集，记，则（1），；（2） ，；（中使函数值等于的点所成集的递减分解）（3）（中使函数值等于的点所成集的递减分解）
