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1、17.1 17.1 勾股定理勾股定理逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点勾股定理勾股定理11.勾股定理勾股定理直角三角形两条直角边的直角三角形两条直角边的平方和等于平方和等于斜边的斜边的平方平方.数学数学表达式：表达式：如图如图 17.1-1，在在 Rt ABC 中，中，C=90，AB=c，AC=b，BC=a，则，则 a2+b2=c2.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒勾股定理勾股定理揭示的是揭示的是直角三角形直角三角形三边的平方三边的平方关系关系，只有在只有在直角三角形中直角三角形中才可以使用
2、才可以使用勾股定理勾股定理.利用勾股定理，已知其中利用勾股定理，已知其中任意两边可以求任意两边可以求出第三出第三边边.感悟新知感悟新知2.勾股定理的变形公式勾股定理的变形公式 a2=c2b2；b2=c2a2.3.基本思想方法基本思想方法 勾股定理勾股定理把把“形形”与与“数数”有机地结合起来有机地结合起来，即，即把把直角三角形这个直角三角形这个“形形”与三边关系这一与三边关系这一“数数”结合结合起来起来，它是数形结合思想的典范它是数形结合思想的典范.知知1 1讲讲知知1 1练练感悟新知感悟新知【母母题题 教材教材 P24 练习练习 T1】在在 Rt ABC 中中，A，B，C 的对边分别的对边分
3、别为为a，b，c，C=90.例1解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“勾股定理的特征勾股定理的特征”解答解答.知知1 1练练感悟新知感悟新知(1)已知已知 a=3，b=4，求求 c；(2)已知已知 c=19，a=13，求求 b(结果结果保留保留根号根号)；知知1 1练练感悟新知感悟新知(3)已知已知 a b=1 2，c=5，求，求 b.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知1-2.在在 Rt ABC 中中，C=90，A，B，C 的的对边分别为对边分别为 a，b，c.(1)若若 a b=3 4，c=75，求，求 a，b；解解：设：设a3x，则，则b4x(x0)由勾股定理得由勾股定理得
4、a2b2c2，则则(3x)2(4x)2752，解得，解得x15.所以所以a31545，b41560.知知1 1练练感悟新知感悟新知(2)若若 ca=4，b=16，求，求 a，c.知知1 1练练感悟新知感悟新知已知直角三角形两边的长分别是已知直角三角形两边的长分别是 3 和和 4，则第三，则第三边的边的长长为为_.例2 解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“所求第三边可能是斜边或直角所求第三边可能是斜边或直角边边”进行进行分类解答分类解答.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知2-1.若直角三角形的若直角三角形的三边长三边长分别为分别为 2，4，x，则，则 x的的值可能有值可能有()
5、A.1 个个 B.2 个个C.3 个个 D.4 个个B感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点勾股定理的证明勾股定理的证明21.常用证法常用证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法，验证勾股定理的方法很多，有测量法，几何几何证证明法；但明法；但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼并根据拼图中图中各部分面积之间的关系来验证各部分面积之间的关系来验证.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒通过拼图证明通过拼图证明命题的命题的思路思路：1.图形经过割补图形经过割补拼接拼接后，只要没有重叠后，只要没有重叠、没有、没有空隙，空隙，面积就面积就不会改变不会改变；2
6、.根据同一种根据同一种图形的图形的面积的不同表示面积的不同表示方法列出方法列出等式等式；3.利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形写出图形面积的表达式写出图形面积的表达式找出等量关系找出等量关系恒等变恒等变形形推导命题结论推导命题结论.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知通过拼图，通过拼图，利用求面积利用求面积来验证，来验证，这种这种方法以数形方法以数形转转换为换为指导思想，以指导思想，以图形图形拼补为手段，拼补为手段，以各以各部分面积部分面积之间之间的关系的关系为依据而为依据而达到目的达到目的.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.著名证著名证法举例法举例方法
7、方法 图形形 证明明赵爽爽弦弦图感悟新知感悟新知知知2 2讲讲方法方法 图形形 证明明加菲加菲尔德德总统拼拼图毕达哥拉达哥拉斯拼斯拼图续表续表感悟新知感悟新知知知2 2练练一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了发现了勾勾股定理的一种验证方法股定理的一种验证方法.如图如图 17.1 2，火柴盒的火柴盒的一一个个侧面侧面 ABCD 倒下后到四边形倒下后到四边形 AB C D的位置，连的位置，连接接 AC，AC，CC，设，设 AB=a，BC=b，AC=c.请请利用四边形利用四边形 BCC D的面积的面积验证验证勾股定理：勾股定理：a2+b2=c2.例3知知
8、2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“总面积等于各部分面积之和总面积等于各部分面积之和”进行验证进行验证.知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知整个图形面积等于不重整个图形面积等于不重叠、叠、无空隙无空隙的各组成部的各组成部分的面积的和分的面积的和.知知2 2练练感悟新知感悟新知3-1.如图如图，写出字母所代表的正方形的面积：写出字母所代表的正方形的面积：SA=_，SB=_.625144感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点勾股定理的应用勾股定理的应用31.勾股定理的应用范围勾股定理的应用范围勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把勾股定理是直角三角形的一个
9、重要性质，它把直角三直角三角形角形有一个直角的有一个直角的“形形”的特点转化为三边的特点转化为三边“数数”的关系的关系.利用勾股定理利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题问题，还，还可以解决生活、生产中的一些实际问题可以解决生活、生产中的一些实际问题.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.勾股定理应用的常见类型勾股定理应用的常见类型(1)已知已知直角三角形的任意两边求第三边；直角三角形的任意两边求第三边；(2)已知已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；直角三角形的任意一边确定另两边的关系；(3)证明证明包含有包含有平方平方(算术平方根算术平
10、方根)关系关系的几何问题；的几何问题；(4)求解求解几何体表面上的最短路程问题；几何体表面上的最短路程问题；(5)构造方程构造方程(或方程组或方程组)计算计算有关线段长度，有关线段长度，解决生产解决生产、生、生活活中的实际问题中的实际问题.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒运用勾股定理运用勾股定理解决实际解决实际问题的一般步骤问题的一般步骤：1.从实际问题中抽象从实际问题中抽象出出几何图形几何图形.2.确定要求的线段确定要求的线段所在的所在的直角三角形直角三角形.3.找准直角边和斜边找准直角边和斜边，根据，根据勾股定理勾股定理建立建立等量等量关系关系.4.求得结果求得结果.知知3
11、3练练感悟新知感悟新知【母母题题 教材教材 P28 习题习题 T8】如如图图 17.1-3，在在 Rt ABC 中，中，ACB=90，AC=3，BC=4，CD AB，垂足，垂足为为 D，求，求 CD 的长的长.例4 解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“同一个直角三角形的面积的两种同一个直角三角形的面积的两种表示法表示法”求解求解，即利用，即利用面积法面积法解决问题解决问题.知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知4-1.中考中考 重庆重庆 如图如图，在在 ABC 中中，AB=AC，AD 是是 BC 边上的中线边上的中线，若若 AB=5，BC=6，则，则 AD 的长度的长度为为_.4
12、知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 17.1-4，在，在 Rt ABC 中，中，C=90，AM 是中是中线线，MN AB，垂足为，垂足为 N.求证求证：AN2 BN2=AC2.例5知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：将要证明的线段归结到将要证明的线段归结到不同的不同的直角三直角三角形中，结合等式的性质证明角形中，结合等式的性质证明.知知3 3练练感悟新知感悟新知证明证明：MN AB，在在 Rt AMN 中，中，AN2 MN2=AM2；在在 Rt BMN 中，中，BN2 MN2=MB2.AM2 AN2=MB2 BN2，即，即 AN2 BN2=AM2 MB2.在在 Rt AMC 中
13、中，C=90，AM2 MC2=AC2.又又 AM 是中线，是中线，MC=MB.AM2 MB2=AC2.AN2 BN2=AC2.知知3 3练练感悟新知感悟新知5-1.如图，在如图，在 Rt ABC中中，C=90，AM=CM，MP AB 于点于点 P.求证：求证：BP2=BC2 AP2.知知3 3练练感悟新知感悟新知证明：如图，连接证明：如图，连接BM.PMAB，BMP和和 AMP均为直角三角形均为直角三角形BP2PM2BM2，AP2PM2AM2.同理可得同理可得BC2CM2BM2，BP2PM2BC2CM2.又又CMAM，CM2AM2AP2PM2.BP2PM2BC2AP2PM2.BP2BC2AP2
14、.感悟新知感悟新知知知3 3练练【母母题题 教材教材 P25 例例 2】一架长一架长 5 m 的梯子的梯子，斜斜靠在一竖直靠在一竖直墙上墙上，这时梯足距墙脚，这时梯足距墙脚 3 m，若梯子的顶，若梯子的顶端下滑端下滑 1 m，则梯足将，则梯足将滑动滑动()A.0 m B.1 m C.2 m D.3 m例6 知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：将实际应用问题通过建模转化为直角将实际应用问题通过建模转化为直角三角形三角形的问题求解的问题求解.知知3 3练练感悟新知感悟新知答案：答案：B知知3 3练练感悟新知感悟新知6-1.中考中考东营东营 一一艘船艘船由由 A 港沿北偏东港沿北偏东 6
15、0方向方向航行航行30 km至至B港港，然后，然后再沿北偏西再沿北偏西 30方向方向航行航行 40 km 至至 C 港，则港，则 A，C 两港之间的两港之间的距离为距离为 _km.50感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点4感悟新知感悟新知知知4 4讲讲感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知知4 4讲讲感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知4 4练练解题秘方解题秘方：紧扣长为紧扣长为 10的的线段是线段是两直角边长分两直角边长分别为别为 1 和和 3 的的直角三角形直角三角形的斜边的斜边“作图作图”.例7知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练感悟新知感悟新知7-1.中考中考大连改编大连改编 如如图，在数轴上，点图，在数轴上，点 O为为原点，原点，OB=1，过点，过点 O作作直线直线 l OB，在，在直线直线l 上截取上截取 OA=2，且，且 A 在数在数轴轴上方上方.连接连接 AB，以点以点 B 为圆心，为圆心，AB 为为半径作半径作弧交数轴于点弧交数轴于点 C，则，则点点C 表示表示的数为的数为 _.勾股定理勾股定理结论结论直角三角形直角三角形三边平方关系三边平方关系勾股定理勾股定理几何应用几何应用实际应用实际应用条件条件应用应用验证验证拼图法拼图法面积法面积法
