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1、(word完好版)勾股定理知识点总结、经典例题,文档知识点及例题知识点一：勾股定理假如直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方重点讲解：（1）勾股定理揭穿的是直角三角形平方关系的定理。2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，
2、所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1和（3）2所示的两个形状同样的正方形。在（3）1中，甲的面积=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）,在（3）2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以。知识点三：勾股定理的作用1已知直角三角形的两条边长求第三边；2已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题；4利用勾股定理，作出长为的线段。2.在理解的基础上熟习以下勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）
3、，明显，以x,y,z为三边长的三角形必定是直角三角形。熟习以下勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、41假如(a,b,c)是勾股数，当t0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析种类一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=90(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，必定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。分析：(1)在ABC中，C=90，a=6，c=10,b=在ABC中，C=
4、90，a=40，b=9,c=在ABC中，C=90，c=25，b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转变成特别图形求解，此题经过将图形转变成直角三角形的方法，把四边形面积转变成三角形面积之差或和。贯穿交融【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?【答案】ACD=90AD=13,CD=12AC2=AD2CD2=132122=25AC=5又ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2=5232=16AB=4AB的长是4.种类二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，.求：BC
5、的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，从而求出BC的长.分析：作于D，则因，（的两个锐角互余）（在中，假如一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理，在中，.依据勾股定理，在中，.总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也常常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.贯穿交融【变式1】如图，已知：，于P.求证：.思路点拨:图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.所以，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连接BM.这样，实质上就获取了4个直角三
6、角形.那么依据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.分析：连接BM，依据勾股定理，在中，.而在中，则依据勾股定理有.又（已知），.在中，依据勾股定理有，.【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解此题的重点，可以连接AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，依据此题给定的角应选后两种，进一步依据此题给定的边选第三种较为简单。分析：延长AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2=CE2-CD2=42-2
7、2=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=种类三：勾股定理的实质应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、以以下图，在一次夏令营活动中，小明从阵营沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确立目的地C在阵营A的什么方向。A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，而后再思路点拨：把实质问题中的角度转变成图形中的角度，利用勾股定理求解。分析：（1）过B点作BE/ADDAB=ABE=6030+CBA+ABE=180CBA=90即ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以2）在RtABC中，BC=50
8、0m，AC=1000mCAB=30DAB=60DAC=30即点C在点A的北偏东30的方向总结升华：此题是一道实质问题，从已知条件出发判断出ABC是直角三角形是解决问题的重点。此题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。贯穿交融【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高该工厂的厂门?2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否经过【答案】因为厂门宽度能否足够卡车经过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度能否小于CH以以下图，点D在离厂门中线0.8米处，且CD，与地面交于H解：OC1米(大门宽度一半)，OD0.8米（卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CDC.米，.（米）.（米）所以
9、高度上有0.4米的余量，所以卡车能经过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改进农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个农村A、C、D，且正好位于一个正方形的四个极点，现计划在四个农村联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪一种架设方案最省电线思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，经过利用勾股定理计算线路长，而后进行比较，得出结论分析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD3，AB+BC+CD3图（3）中，在RtABC中同理图（3）中的路线长为图（4）中，延长EF交BC
10、于H，则FHBC，BHCH由FBH及勾股定理得：EAEDFBFCEF12FH1此图中总线路的长为4EA+EF32.8282.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线总结升华：在实质生产工作中，常常工程设计的方案比许多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计此题利用勾股定理、等腰三角形的判断、全等三角形的性质贯穿交融【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短行程解：如图，在Rt中，底面周长的一半（发问：勾股定理）cm，依据勾股定理得AC（cm）（勾股定理）答：最短行程约为cm
11、种类四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，近似地可作作法：以以下图。（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角（2）以AB为一条直角边，作另向来角边为ACB，使1的直角AB为斜边；。斜边为；（3）按序这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。总结升华：（1）以上作法依据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。贯穿交融【变式】在数轴上表示的点。分析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有益
12、于画图让其余两边的长为整数，而10又是9和1这两个完好平方数的和，得别的两边分别是3和1。作法：以以下图在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。种类五：抗命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的抗命题并判断能否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直均分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角均分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨：掌握原命题与抗命题的关系。分析：1.抗命题：有四只脚的是猫（不正确）抗命题：相等的角是对顶角（不正确）3.抗命题：到线段两端距离相等的
13、点，在这条线段的垂直均分线上?（正确）4.抗命题：到角两边距离相等的点，在这个角的均分线上（正确）总结升华：此题是为了学习勾股定理的抗命题做准备。7、假如ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件下手，解决问题。分析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。(a-3)20,(b-4)20,(c-5
14、)20。a=3，b=4，c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是经过数目关系来研究图形的地址关系的,在证明中也常要用到。贯穿交融【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【答案】：连接ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC能否为直角三角形.分析:此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可证明： 所以ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE能否垂直?请说明。【答案】答：DEEF。证明：设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+
