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1、沙理 只数学与计算科学学院实验报告实验项目名称方程求根所属课程名称数值方法A实验类型验证型实验日期2011.10.25班级信计0901班学号200953100105姓名黎宁莎成绩一、实验概述：【实验目的】1、通过实验进一步了解方程求根的算法；2、认识选择计算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。【实验原理】迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题(一般是解方程或者方程组)的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代 法(Iterative Method)。在方程求根的时候，常用的迭代法有简单迭代法和牛顿迭代法。(1) 设方程f(x
2、)=0(1)有解g，把方程改写为等价形式x=g(x) 选定g 的初始值x进彳丁迭代：xk+l=g(xk) 得一个迭代数列xO, xl, x2,，xk,.。 当k足够大时，用x/乍为fx) = 0的近似解。这样求解方程fx)=0根近似值的方法称 为简单迭代法(简称迭代法)，g(X)称为迭代函数；(3)式称为迭代格式。(2) 设r是f(x) = 0的根，选取xO作为r初始近似值，过点(xO,f(xO)做曲线y =f(x)的切线L，L的方程为y二f(x0)+f(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标x1 =x0-f(x0)/f(x0)，称x1为r的一次近似值。过点(x1,f(x1)做曲线y二f
3、(x)的 切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2 = x1-f(x1)/f(x1)，称x2为r的二次近 似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n) f(x(n)/f(x(n)， 称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间 接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一 个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用 递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过
4、程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须 考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为 两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的 迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代 过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。【实验环境】操作系统：Windows xp编程语言：visual C+ 6.0二、实验内容:【实验方案】在明确实验要求我们实现的方程求根的前提下，通过使用Microsoft visual C+ 6.0编程软件，并按照实验原理中直接迭代法和牛顿迭代法的算
5、法编写其相应 程序，然后编译、运行程序。实验内容如下：1. 用简单迭代法求下列方程的根，当满足|xn+- xj 10-6时结束迭代，并说明 迭代收敛的理由。ex +10x 2 二 02. 用牛顿法求方程x = tgx的最小正根和在x = 100附近的根，当满足|xn+1 xj ent s and Sett ingsAdAinist rat orJ0DebugCpp 1. exe*| |裔入初慎x0=0.5呈在迭代格式1初值x0=0.500000附近的根为x=0.090525 壬茨数为7呈在迭代格式2初值X0 =0.5&附近的根为-1 tt IND00 k次数为1*ss any key to c
6、ontinue z *C: Docuents and SettingsAdinistrator桌面DebugCppl. eze*岂回裔入初慎x0=0.7呈在迭代格式1初值x0=0.700008附近的根为x=0.090525 壬茨数为8呈在迭代格式2初值X0 =0.700000附近的根为-1 tt IND00 k次数为1*ss any key to continue 2. (1)求最小正根，显然x=0是方程的根，另外当x的绝对值较小时， tanx 二 x +1 x 3 +. + ，故当 x g (0,)时，tan xx，因此方程的根在(二,3 )内,32k +122 2通过分析可知根在4,4.6
7、上。由程序的结果分析可知初值的选取影响迭代格式的收敛性（2）求100附近的根，有程序的结果分析可知初值的选取影响迭代格式的收敛性，稍有偏差就会导致该迭代格式不收敛。- *C: DocuAent s and Sett ingsAdAinist rat orDebugCpp 1. exe*日回田|迭Ppt|入初值X0=10B星在1盹附近的根为-l.#IND00弋次数丸530jss any key to continueg C: Docuent s and Sett ingsAdinist rat or桌面DebugCpp 1. eze*BSB|迭Prt窮入初值X0=102.1星在1盹附近的根为10
8、2.091966 k次数光：7jss any key to continue【实验小结】（收获体会）本实验主要介绍的就是求解方程组的迭代法，该实验基本完成了实验所要求的 内容，同时达到了实验的目的，也就是通过编程进一步理解了各种迭代格式的比较.这学期的数值分析上机实验教会了我在遇到自己不熟悉的知识时，一定要多上机操 作，并多查阅相关的书籍，虽然我不能确定我已经把这门课学的很精通，但这门课的学习经历教会了我很多这也使得我更好地了解了数值方法中方程求根的迭代法 的用法，以及更好地学会使用C+编写程序。三、指导教师评语及成绩:评语评语等级优良中及格不及格i.实验报告按时完成，字迹清楚,文字叙述流畅，
9、逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细，记录完整，数据合理，分析透彻）4实验结论正确.成绩：指导教师签名：批阅日期：附录1:源程序1#includevstdio.h#includevmath.hmain()double x,t,y,xO;int i=0,j=0; printf(请输入初值x0=); scanf(%lf, &x);x0=x;do t=(2-exp(x)*1.0/10;i+;y=x;x=t;while(fabs(y-t)1.0e-6);printf(方程在迭代格式1初值xO=%lf,xO); printf(附近的根为 x=%lfn,x);printf(迭代次数为 %
10、dn,i);x=x0;doj+；t=log(2-10*x);y=x;x=t;while(fabs(y-t)1.0e-6);printf(方程在迭代格式2初值xO=%lf,xO); printf(附近的根为 %lfn,x);printf(迭代次数为 %dn,j);2用牛顿迭代法求方程的根(1)求最小正根#includevstdio.h#includemain()double x,t,y=1;int n=0;printf(请输入初值xO=); scanf(%lf, &x);while(fabs(y)1.0e-6)n+;t=x-(x-tan(x)/(1-1.0/(cos(x)*cos(x); y=x
11、-t;x=t;printf(方程的最小正根为”)； printf(%lfn,x);printf(迭代次数为：)； printf(%dn,n);(2)求100附近的根#includevstdio.h#includevmath.hmain()double x,t,y=1;int n=0;printf(请输入初值x0=); scanf(%lf, &x);while(fabs(y)1.0e-6)n+;t=x-(x-tan(x)/(1-1.0/(cos(x)*cos(x); y=x-t;x=t;printf(方程在100附近的根为)； printf(%lfn,x);printf(迭代次数为：)； pri
12、ntf(%dn,n);附录2：实验报告填写说明1. 实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。2. 实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3. 实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4. 实验环境：实验用的软、硬件环境。5. 实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步 骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设 计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，还应注明其创新点、特 色。6实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包 括实验过程中的记录、数据和相应的分析。7实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。8实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。9.指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
