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1、直 线 平 移 小 窍 门搞好“三生教育”，落实在学科教学上是让学生学会学习，下面是我坚持指导学生自主学习，学会研究性学习的成功例子，这篇学生论文发表在中小学数学2006年第12期上。 如东县实验中学初二（9）班 沈俊俊 指导老师：刘宝国（226400）在数学课上，我们探究了一次函数的图像的平移问题，一次函数的图像沿y轴进行上下平移，其解析式的变化情况很容易把握。例如：问题1： 直线y=2x+1向上平移4个单位后得到的直线是 y=2x+5 问题2： 直线y=-3x-1是直线y=-3x+5向上或向下怎样平移得到的， 是向下平移6个单位得到的 。比较难探究的是一次函数的图像沿x轴进行左右平移。利用
2、待定系数法，可以解决此类问题。例如：问题3： 求直线y=2x+1向左平移2个单位后得到的直线的解析式解：当x=0时，y=1 直线y=2x+1过点（0，1） 点（0，1）向左平移后的点为（-2，1）。设平移后的直线为y=2x+b 1=2(-2)+b b=5 平移后的直线的解析式是 y=2x+5。问题4： 直线l2： y=-3x-1是由直线l1： y=-3x+5，向左向右怎样平移得到的。解： 点（0，5）在直线l1上，对于直线l2：当y=5时，5=-3x-1 x= -2 直线l2过点（-2，5）， 所以直线l1上的点（0，5）通过左右平移后的对应点为（-2，5），由这样两点可知，直线l2是l1向左
3、平移2个单位得到的。解决与平移有关的问题，就是抓特殊点，例如上面的几个问题，问题1是点（0，1）与点（0，5），问题2是点（0，5）与点（0，-1），问题3是点（0，1）与点（-2，1），问题4是点（0，5）与点（-2，5）。有了这样的窍门，我们又可以多角度解决下面的问题：问题5： 求经过点（1，7）并且与直线y=2x平行的直线的解析式。解法1： 设直线的解析式是 y=kx+b由题意得： k=2，k+b=7 解得： k=2， b=5 直线的解析式是 y=2x+5。解法2： 当x=1时 y=21=2 直线y=2x经过（1，2）由点（1，2）到点（1，7）是向上平移5个单位后得到的 所求的直线的解
4、析式是y=2x+5。解法3：思路：本题也可以通过特殊点，先由点（，2）到点（1，7）探究平移情况，再由点（0，0）到点（，0）求出解析式。在课上解决问题之后，我们发现左右平移与上下平移的联系，把左右平移转化成上下平移，可以简化问题的难度，因此我和同宿舍的丁春辉、翟鹏、赵宸等几个同学进行了这方面的探究。发现1： 把直线y=2x+1向上平移4个单位与向左平移2个单位效果一样（如：问题1与问题3）。猜想1： 直线y=2x+1向左（或向右）每平移1个单位可以转化为直线y=2x+1相应地向上（或向下）平移2个单位。猜想2： 把直线y=3x+b向左（或向右）每平移1个单位，可转化为直线y=3x+b相应地向
5、上（或向下）平移3个单位。猜想3： 把直线y=kx+b (k0)向左（或向右）每平移1个单位，可以转化为直线y=kx+b,则相应地向上（或向下）平移k个单位。证明1 设：把直线y=kx+b (k0)向左平移1个单位后得直线y=kx+b1, 直线y=kx+b1,过点（-1，b） b=-k+b1, b1=b+k 平移后的直线为y=kx+b+k而直线y=kx+b 向上平移k个单位后也得直线y=kx+b+k。又 把直线y=kx+b 向左平移m个单位后得直线y=kx+ b2 过点（-m,b） b=-km+b2 b2=b+km 平移后的直线为y=kx+b+km而直线y=kx+b向上平移km个单位后也得到直
6、线y=kx+b+km。 把直线y=kx+b (k0)向左（或向右）每平移1个单位，可以转化为直线y=kx+b,则相应地向上（或向下）平移k个单位。 猜想3得证。发现2： 把直线y=-3x+5向下平移6个单位与向左平移2个单位效果一样（如：问题2与问题4）。猜想4： 直线y=-3x+5向左（或向右）每平移1个单位可以转化为直线y=-3x+5相应地向下（或向上）平移3个单位。猜想5： 把直线y=-4x+b向左（或向右）每平移1个单位，可转化为直线y=-4x+b,相应地向下（或向上）平移4个单位。猜想6： 把直线y=kx+b （k0）向左(或向右)每平移1个单位，可以转化为直线y=kx+b,则相应地
7、向下（或向上）平移k个单位。证明2 设：把直线y=kx+b (k0)向左平移1个单位后得直线y=kx+b1, 直线y=kx+b1,过点（-1，b） b=-k+b1, b1=b+k 平移后的直线为y=kx+b+k而直线y=kx+b 向下平移k个单位后也得直线y=kx+b+k又 把直线y=kx+b 向左平移m个单位后得直线y=kx+ b2 过点（-m,b） b=-km+b2 b2=b+km 平移后的直线为y=kx+b+km而直线y=kx+b向下平移km个单位后也得到直线y=kx+b+km 把直线y=kx+b （k0向左或向右每平移1个单位，可以转化为直线y=kx+b,则相应地向下（或向上）平移k个
8、单位。 猜想6得证。有了以上规律，解决平移问题就有了方便的方法了。例如：1 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 y=5x+7 (相当于向上平移25个单位)。2 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 y=-x (相当于向上平移21个单位)。3 直线y=x向右平移2个单位得到直线 (相当于向下平移2个单位)。4 直线y=向左平移2个单位得到直线(相当于向下平移2个单位)。在研究了上面的方法后，我们很是高兴。直线平移窍门在班上一下子传开，刘老师看到了，对我们的研究作出了肯定，并指出了直线平移还可以继续研究下去，指导我们看问题5的结果。刘老师把问题5的结果y=2x+5改写为y-7=2(x-1
9、)，让我们观察、研究。因此我们有几个小组进行了探究，得出了以下平移小窍门：直线l1：y=kx+b与l2：y-m=k(x-n)+b的位置关系是直线l1：y=kx+b向上平移了m个单位，向右平移了n个单位得到直线l2：y-m=k(x-n)+b。（m为正，代表直线向上平移m个单位，m为负，代表直线向上平移负m个单位，也就是直线向下平移m个单位；n为正，代表直线向右平移n个单位，n为负，代表直线向右平移负n个单位，也就是直线向左平移n个单位）。（读者可以自己研究，验证）。有了以上规律，解决平移问题就有了更方便的方法了。例如：1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 y=5(x+2)-3即y=5x
10、+7。2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 y=-（x-2）-2即y=-x。3. 直线y=x向右平移2个单位得到直线 即。4. 直线y=向左平移2个单位得到直线即。5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线y-4=2x+1即y=2x+5。6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线y+6=-3x+5即y=-3x-1。7. 直线向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线即。8. 直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线即。9. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是y+3=2(x-2)即y=2x-7。10. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是y+3=-3(x-2)+1即y=-3x+4。
