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1、1第七章空间解析几何与向量代数第一节 空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建立教学内容：一、空间直角坐标系1将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴2的正向。2 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、 y 轴、 z 轴，坐标面分别为xoy 面、 yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分
2、如图7 2所示。 图 7 1 右手规则演示图 72 空间直角坐标系图图 7 3 空间两点M 1 M 2 的距离图3空间点 M ( x, y, z)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。2注意：特殊点的表示a) 在原点、坐标轴、坐标面上的点；b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4空间两点间的距离。若 M 1( x1, y1, z1 ) 、M 2(x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2 的距离（见图 7 3），利用直角三角形勾股定理为：222d 2M1M 2M1NNM 2222M 1 ppNNM2而M 1 Px 2x1PNy2y1NM 2z
3、2z1所以d M1M 221 ) 22y1 )22 z1 ) 2( xx( y(z特殊地：若两点分别为M ( x, y, z) ， o(0,0,0)d oMx 2y 2z2例 1：求证以 M 1 (4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3(5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。2证明 : M1M2(47) 2(3 1)2(12)2142M2M3(57)2(21)2(32)262M3M1(54)2( 23) 2(31) 26由于 M2M3M 3 M1 ，原结论成立。例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0,2,3) 的距离为到点的距离的两1P2 (0,1, 1)倍，求
4、点P 的坐标。3解：因为P 在 x 轴上，设P 点坐标为( x,0,0)2PP1x 2232x211PP 2x21 212x22PP12x211 2 x222 PPx1所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限）空间两点间距离公式作业：4第二节向量及其运算教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 向量的概念2. 向量的运算教学难点：向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1向量： 既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向
5、量（以后简称向量）。2 量的表示方法有:a 、 i 、 F 、 OM 等等。3 向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。4 量的模：向量的大小，记为a 、 OM 。模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 量平行 a / b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a二、向量的运算1加减法abc ： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 4b c a2 abc即 a( b)c53向量与数的乘法a
6、 ：设是一个数，向量a 与的乘积a 规定为(1)0 时，a 与 a 同向， |a | a |(2)0 时，a0(3)0 时，a 与 a 反向， |a | | | a |其满足的运算规律有：结合率、分配率。设a 0 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么a 0aa定理 1：设向量a0，那么，向量b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a例 1：在平行四边形ABCD 中，设ABa ，ADb ，试用 a 和 b 表示向量MA 、 MB 、 MC和 MD ，这里 M 是平行四边形对角线的交点。（见图 75）图 74解： a bAC2 AM ，于是 MA1(a b)2由于 MCMA
7、 ，于是 MC1b)(a21a bBD2 MD ，于是 MD又由于(b a)12由于 MBMD ，于是 MB(b a )2小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。作业：6第三节向量的坐标教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点： 1. 向量的坐标表示式2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学难点： 1. 向量的坐标表示2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学内容：一、向量在轴上的投影1几个概念(1)轴上有向线段的值：设有一轴u ， AB 是轴 u 上的有向
8、线段，如果数满足AB ，且当 AB 与轴 u 同向时是正的，当AB 与轴 u 反向时是负的，那么数叫做轴u 上有向线段AB 的值 ，记做 AB ，即AB 。设 e 是与 u 轴同方向的单位向量，则ABe(2) 设 A 、 B、 C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有ACABBC(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和 b ，任取空间一点O，作 OAa ， OBb，规定不超过的AOB 称为向量a 和 b 的夹角，记为 (a,b)(4) 空间一点 A 在轴 u 上的投影： 通过点 A 作轴 u 的垂直平面， 该平面与轴 u 的交点 A 叫做点 A 在轴 u 上的投影。(5)向
9、量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量AB 的起点A 和终点 B 在轴7u 上的投影分别为点A 和 B ，那么轴u 上的有向线段的值A B 叫做向量AB 在轴 u 上的投影，记做Pr j u AB 。2 投影定理性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： Pr j u ABAB cos性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Pr j u (a1a2 )Pr j a1Pr j a 2性质 3 ：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即Pr ju ( a)Pr j a二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设 a = M 1M 2 是以 M 1 ( x 1 , y1 , z1 ) 为起点 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为终点的向量， i 、 j 、k 分别表示图 75沿 x， y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7 5，并应用向量的加法规则知：M 1M 2( x2x1 ) i + ( y 2y1 ) j+ ( z2z1 ) k8或a = a x i + a yj
