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1、几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率金字塔和沙漏模型C1.能够准确理解金字塔和沙漏模型2.能够用相似模型解决复杂的几何问题少考知识提要金字塔和沙漏模型 金字塔模型 CDCA=CECB=DEAB 沙漏模型 ABCD=AODO=BOCO 精选例题金字塔和沙漏模型 1. 如图，ABC 中，DE，FG，BC 互相平行，AD=DF=FB，则 SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB= 【答案】1:3:5【分析】设 SADE=1 份，根据面积比等于相似比的平方，所以 SADE:SAFG=AD2:AF2=1:4，SADE:SABC=AD2:AB2=1:9，因此
2、 SAFG=4 份，SABC=9 份，进而有 S四边形DEGF=3 份，S四边形FGCB=5 份，所以 SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=1:3:5 2. 如下图所示，将边长 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是 平方厘米【答案】43.2【分析】给图中标上字母，如下图根据沙漏模型 OCOF=BCEF=812=23所以 OF=1232+3=7.2(厘米)SEFO=7.2122=43.2(平方厘米) 3. 如图，ABC 中，AE=14AB，AD=14AC，ED 与 BC 平行，EOD 的面积是 1 平方厘米那么 AED 的面积是 平方厘米【答案】53
3、【分析】因为 AE=14AB，AD=14AC，ED 与 BC 平行，根据相似模型可知 ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，SCOD=4SEOD=4 平方厘米，则 SCDE=4+1=5 平方厘米，又因为 SAED:SCDE=AD:DC=1:3，所以 SAED=513=53(平方厘米) 4. 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是 16，BG:GC=3:1，则四边形 EFGH 的面积 = 【答案】3【分析】因为 FGHE 为平行四边形，所以 ECAG，所以 AGCE 为平行四边形 BG:GC=3:1，那么 GC:BC=1:4，所以 S平行四边形AGCE
4、=14S平行四边形ABCD=1416=4又 AE=GC，所以 AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以 S平行四边形FGHE=34S平行四边形AGCE=344=3 5. 如图，已知 DE 平行 BC，BO:EO=3:2，那么 AD:AB= 【答案】2:3【分析】由沙漏模型得 BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得 AD:AB=DE:BC=2:3 6. 图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于 52 平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米【答案】10.8【分析】设大、小正方形的边长分别为 m 厘米、n 厘米（mn），则m2+n
5、2=52,所以m8.若 m5，则m2+n2522=5052,不合题意，所以 m 只能为 6 或 7检验可知只有 m=6、n=4 满足题意，所以大、小正方形的边长分别为 6 厘米和 4 厘米根据相似三角形性质，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得BG=3.6(厘米),所以阴影部分的面积为：1263.6=10.8(平方厘米). 7. ABCD 是平行四边形，面积为 72 平方厘米，E、F 分别为 AB、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米【答案】48【分析】方法一：设 G、H 分别为 AD、DC 的中点，连接 GH、EF、BD可得SAED=14S平行四边形ABCD
6、,对角线 BD 被 EF、AC、GH 平均分成四段，又 OM EF，所以DO:ED=24BD:34BD=2:3,OE:ED=EDOD:ED=32:3=1:3,所以SAEO=1314S平行四边形ABCD=131472=6(平方厘米),SADO=2SAEO=12(平方厘米).同理可得SCFM=6(平方厘米),SCDM=12(平方厘米).所以SABCSAEOSCFM=3666=24(平方厘米),于是，阴影部分的面积为24+12+12=48(平方厘米).方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此 O,M 为 AC 的三等分点，SODM=16S平行四边形
7、ABCD=1672=12(平方厘米),SAEO=14SOCD=14122=6(平方厘米),同理SFMC=6(平方厘米),所以S阴影=721266=48(平方厘米). 8. 如图，DE 平行 BC，若 AD:DB=2:3，那么 SADE:SECB= 【答案】4:15【分析】根据金字塔模型 AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，SADE:SABC=22:52=4:25，设 SADE=4 份，则 SABC=25 份，SBEC=2553=15 份，所以 SADE:SECB=4:15 9. 如图，ABC 中，DE，FG，MN，PQ，BC 互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，则
8、SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB= 【答案】1:3:5:7:9【分析】设 SADE=1 份，SADE:SAFG=AD2:AF2=1:4，因此 SAFG=4 份，进而有 S四边形DEGF=3 份，同理有 S四边形FGNM=5 份，S四边形MNQP=7 份，S四边形PQCB=9 份所以有 SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=1:3:5:7:9.10. 在下图中，线段 AE、FG 将长方形 ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是 2 平方厘米、11 平方厘米，且 E 是 BC 的中点，O 是 AE
9、的中点请问长方形 ABCD 的面积是 平方厘米【答案】28【分析】如下图所示，延长 AE、DC 交于点 H由于 E 是 BC 的中点，由 ABCH，有 AE:EH=BE:EC=1:1，由于 O 是 AE 中点，那么 AO:OH=1:3由 AFGH，有 SAOF:SGOH=12:32=1:9所以，SGOH=29=18(平方厘米)，那么 SCEH=1811=7(平方厘米)所以，S平行四边形ABCD=4SABE=4SCEH=47=28(平方厘米)11. 如下图所示，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D张大伯常走这两条小路，他知道 DF=DC，且 AD=2DE则两块田地 ACF 和 C
10、FB 的面积比是 【答案】1:2【分析】方法一：如下图所示，ACF 和 CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边比 AF:FB过 F 作 BC 的平行线，交 AE 于 G，则因为 DF=DC，所以三角形 CED 和 FGD 全等，GD=DE又因为 AD=2DE，所以 D 和 G 是 AE 的三等分点，所以 AF:FB=AG:GE=1:2方法二：如下图所示，连接 BD，设 SCED=1(份)，则 SACD=SADF=2(份)设 SBED=x,SBFD=y，则有 x+1=y2x=y+2，解得 x=3y=4所以 SACF:SCFB=(2+2):(4+3+1)=1:212. 如图，在 ABC 中，D，
11、E 分别是 AB，AC 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是 5.04，则 SABC= 【答案】20.16【分析】由于 D，E 都是中点，则 BC=2DE，设 DE 为 1 份，则 BC 为 2 份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是 1 份，乙是 4 份，两个翅膀都是 2 份，由此可推出 ADE 为 3 份，且每份为5.04(41)=1.68,所以SABC=1.68(3+1+4+2+2)=20.1613. 梯形 ABCD 的面积为 12，AB=2CD，E 为 AC 的中点，BE 的延长线与 AD 交于 F，四边形 CDFE 的面积是 【答案】83【分析】延长 BF、CD 相交于 G由
12、于 E 为 AC 的中点，根据相似三角形性质，CG=AB=2CD,GD=12GC=12AB,再根据相似三角形性质，AF:FD=AB:DG=2:1,GF:GB=1:3,而SABD:SBCD=AB:CD=2:1,所以SBCD=13SABCD=1312=4,SGBC=2SBCD=8.又SGDFSGBC=1213=16,SEBC=12SGBC,所以SCDFE=11216SGBC=13SGBC=83.14. 如图，三角形 ABC 的面积为 60 平方厘米，D、E、F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米【答案】12.5【分析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个
13、三角形的面积之差而从图中来看，既可以转化为 BEF 与 EMN 的面积之差，又可以转化为 BCM 与 CFN 的面积之差（法一）如图，连接 DE由于 D、E、F 分别为各边的中点，那么 BDEF 为平行四边形，且面积为三角形 ABC 面积的一半，即 30 平方厘米；那么 BEF 的面积为平行四边形 BDEF 面积的一半，为 15 平方厘米根据几何五大模型中的相似模型，由于 DE 为三角形 ABC 的中位线，长度为 BC 的一半，则EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12EF.那么 EMN 的面积占 BEF 面积的 1213=16，所以阴影部分面积为15116=12.5(平方厘米).（法二
