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1、数学方法之特殊解法【考情分析】近年高考题尽量减少繁烦的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、简捷的运算方法和推理技巧，突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不大，以认识型和思维型的题目为主，许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用 “特殊”方法求解。其中，配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等作用。预测2012年
2、的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；【知识交汇】1换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件
3、联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如
4、求函数y的值域时，易发现x0,1，设xsin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr（r0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设xt，yt等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,。2待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是
5、利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的
6、解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。3参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参
7、数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。4配方（凑）法（1）配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。（2）配凑法：从整体考察，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化从而达到比较容易解
8、决问题的方法。常见的配凑方法有：裂项法，错位相减法，常量代换法等。【思想方法】1配方（凑）法典例解析例1（1）（11江苏7）已知 则的值为_解析：（2）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）(A)(B)(C)5(D)6分析：设长方体三条棱长分别为x、y、z，则依条件得： 2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。而欲求的对角线长为，因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式，完成这种组合的常用手段是配方法，故=6211=25。 ，应选C。点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和
9、分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2（1）设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF2=90，则F1PF2的面积是（ ）(A)1(B)(C)2(D)分析：欲求(1)，而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90，得(2)，又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4(3)，那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方，即可找到三个式子之间的关系.即，故 ， 选(A)。点评：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化。（2）设方程xkx2=0的两实根为p
10、、q，若()+()7成立，求实数k的取值范围。解析：方程xkx2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq2，()+()7，解得k或k。又 p、q为方程xkx2=0的两实根， k80即k2或k2综合起来，k的取值范围是：k 或者 k。点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。2待定系数法典例解析例
11、3（11江苏，12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_解析：设则，过点P作的垂线：，；所以，t在上单调增，在单调减，。例4（11安徽文，17）设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆分析：本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. （II）（
12、方法一）由方程组解得交点P的坐标为而此即表明交点（方法二）交点P的坐标满足整理后，得所以交点P在椭圆3换元法典例解析例5（1）（06江苏卷）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（）求g(a)。解析：（）令要使有t意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1，t0 t的取值范围是由得m(t)=a()+t=（）由题意知g(a)即为函数的最大值。注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。（1）当a0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=
13、t, ,g(a)=2.(3)当a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。解析：设sinxcosxt，则t-,，由(sinxcosx)12sinxcosx得：sinxcosx，f(x)g(t)(t2a)（a0），t-,，t-时，取最小值：2a2a，当2a时，t，取最大值：2a2a；当02a时，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值为2a2a，最大值为。点评：此题属于局部换元法，设sinxcosxt后，抓住sinxcosx与sinxcosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t-
14、,）与sinxcosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinxcosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例6点P(x，y)在椭圆上移动时，求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值。解析：点P(x,y)在椭圆上移动，可设，于是 = =令，|t|。 于是u=，(|t|) 当t=,即时，u有最大值。=2k+(kZ)时，。4参数法典例解析例7（11辽宁文，21）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解：
