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1、2016届高考数学一轮复习 6.6直接证明与间接证明课时达标训练 文 湘教版一、选择题1(2014皖北联考)若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系()APQ BPQ CPQ D由a取值决定【解析】假设PQ，要证PQ，只要证P2Q2，只要证：2a722a72，只要证：a27aa27a12，只要证：012，012成立，P0，则三个数，()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2【解析】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又2226，当且仅当xyz时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.【答案】C3(2013福州高三模拟)如果A1B1C1的三个内角的余
2、弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形【解析】由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形由得那么A2B2C2 ，这与三角形内角和为180相矛盾所以假设不成立，又由已知可得A2B2C2不是直角三角形，所以A2B2C2是钝角三角形，故选D.【答案】D4若0a1a2，0b1b2，且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是()Aa1b1a
3、2b2 Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1 D.【解析】依题意有：0a1，a21，同理有：0b1，b20，a1b1a2b2(a1b2a2b1)(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2a1b1a2b2a1b1a2b2(a1b2a2b1) (b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2的值最大，故选A.【答案】A5已知f(x)ln x，f(x)在xx0处取最大值，以下各式正确的序号为()f(x0)x0；f(x0)x0；f(x0)x0；f(x0)；f(x0).A B C D【解析】f(x)，由题意可知f(x0)0，即ln x0x010，ln x0(x01)，故f(x0)ln x0x0.令函数g(
4、x)ln xx1(x0)，则g(x)10，故函数g(x)为增函数，而glnln e0g(x0)，x0，即f(x0).故选B.【答案】B6(2013黄冈中学)已知曲线C1：1(ab0)所围成的封闭图形的面积为6，曲线C1的内切圆半径为，记C为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆，过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2与椭圆的都只有一个公共点，则圆E的方程为()Ax2y23 Bx2y26Cx2y29 Dx2y212【解析】由直接证明的方法可以先求得椭圆方程1，设P(x0，y0)是圆E上的任意一点，则过P的直线lyk(xx0)y0，代入1中，得1.即(12k2)x2
5、4k(y0kx0)x2(y0kx0)260，若直线l与椭圆的公共点只有一个，则中判别式0，即16k2(y0kx0)28(12k2)0，整理，化简得到一关于k的一元二次方程：(6x)k22x0y0ky30.要使得E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2与椭圆的公共点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为1，故1，即xy9.又对于点(，)，(，)，(，)，(，)，直线l1，l2中有一条斜率不存在，另一条斜率为0，显然满足方程成立，故这样的E方程为：x2y29.【答案】C二、填空题7(2013大连模拟)若a，b，c为RtABC的三边，其中c为斜边，那么当n2，nN*时，an
6、bn与cn的大小关系为_【解析】取ab1，c，易知当n2时，anbn2，cn()n2()n22，由题意知anbn与cn的大小关系应该是确定的，故猜想anbncn.事实上，注意ac，bc，n2，所以有anbna2an2b2bn2a2cn2b2cn2(a2b2)cn2cn，故anbncn.【答案】anbncn8(2012莱芜调研)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f()，已知函数ysin x 在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_【解析】f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A，B，C
7、(0，)，ff，即sin Asin Bsin C3sin ，sin Asin Bsin C的最大值为.【答案】9(2013邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)【解析】若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1 且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】10设a0，b0，称为a，b的调
8、和平均数如图所示，C为线段AB上的点，且ACa，CBb，O为AB中点，以AB为直径做半圆过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段_的长度是a，b的几何平均数，线段_的长度是a，b的调和平均数【解析】在RtADB中DC为高，则由射影定理可得CD2ACCB，CD，故，即CD长度为a，b的几何平均数，将OCa，CD，OD代入ODCEOCCD可得，CE，故OE，所以EDODOE，故DE的长度为a，b的调和平均数【答案】CDDE三、解答题11设f(x)ln x1，证明：(1)当x1时，f(x)(x1)；(2)当1x3
9、时，f(x)1时，g(x)0.又g(1)0，所以有g(x)0，即f(x)1时，2x1，故.令k(x)ln xx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1时，f(x)(x1)(2)方法一记h(x)f(x)，当1x3时，由(1)得h(x).令l(x)(x5)3216x，则当1x3时，l(x)3(x5)22160，因此l(x)在(1，3)内是递减函数又由l(1)0，得l(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1，3)内是递减函数又h(1)0，得h(x)0.于是当1x3时，f(x).方法二记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x3时，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9
10、(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此h(x)在(1，3)内单调递减又h(1)0，所以h(x)0，即当1x3时，f(x).12在锐角三角形ABC中，求证：.【证明】要证，只需证11，即2，即证0，cos A、cos B0，故只需证明1tan A1tan B(1tan A)(1tan B)，即证1tan Atan B，即1，cos Acos Bsin Asin B，即证cos(AB)0，由AB，显然有cos(AB)0，故原不等式成立13(2013临川模拟)设集合W是满足下列两个条件的无穷数列an的集合：an1，anM，其中nN*，M是与n无关的常数(1)若
11、an是等差数列，Sn是其前n项的和，a34，S318，试探究Sn与集合W之间的关系；(2)设数列bn的通项为bn5n2n，且bnW，M的最小值为m，求m的值；(3)在(2)的条件下，设Cnbn(m5)n，求证：数列Cn中任意不同的三项都不能成为等比数列【解析】(1)a34，S318，a18，d2.Sn n29n. n27n7Sn1n27n8满足条件，Sn，当n4或5时，Sn取最大值20.Sn20满足条件，SnW.(2)bn1bn52n可知bn中最大项是b37，M 7，M的最小值为7.(3)证明：由(2)知Cnn，假设Cn中存在三项Cp，Cq，Cr(p，q，r互不相等)成等比数列，则CCpCr，(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p、q、rN*，消去q得(pr)20，pr，与pr矛盾Cn中任意不同的三项都不能成为等比数列
