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1、简单的线性(整数)规划问题一. 知识要点：1. 线性规划的基础概念(1) 线性约束条件约束条件都是关于x, y的一次整式不等式.(2) 目标函数待求最值(最大值或最小值)的函数.(3) 线性目标函数目标函数是关于变量x, y的一次解析式(整式).(4) 线性规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题.(5) 可行解满足全部约束条件的解(x, y).(6) 可行域全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域.(7) 最优解使目标函数取到最大值或最小值的可行解.注意: 线性约束条件即可用二元一次不等式表示, 也
2、可以用二元一次方程表示. 最优解如果存在(当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解. 目标函数取到最优解(最大或最小值)的点, 往往出现在可行域的顶点或边界上. 对于整数规划问题 (), 最优解未必在边界或顶点处取得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找. 寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解.二. 解题思路: 解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界
3、点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点.三求解步骤 在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题, 则要先正确写出规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域). 结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式. 确定最优点: 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线, 从而找到最优点. 将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.四. 高考题演练1. (新课标全国高考) 设x, y满足约束条件 则的最小值是( ) 提示1A. B. C. D. 2. (福建高考) 若变量x, y满足约束条件, 则的最大值和最小值分别为( ). 提示2A. B. C
4、. D. 3. (湖北高考) 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行, A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人, 租金分别为1600元/辆和2400元/辆, 旅行社要求租车的总数不超过21辆, 且B型车不多于A型车7辆. 则租金最小为( ). 提示3A. B. C. D. 4. (湖南高考) 若变量x, y满足约束条件, 则的最大值为( ). 提示4A. B. C. D. 5. (天津高考) 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为( ) 提示5A. B. C. D. 6. (陕西高考) 若点(x, y)位于曲线与所围成的封闭区域, 则的最小值是( ). 提示6A. B. C.
5、 D. 7. (四川高考) 若变量满足约束条件且目标函数的最大值为a, 最小值为b, 则的值是( ) 提示7A. B. C. D. 参考答案:提示1：不等式组表示的平面区域如图1中阴 影部分所示, 其顶点A, B, C的面积可直接算出, 待求面积为 图1 提示2：不等式组所围成的平面区域如图2中阴影部分所示, 面积为2, 则其中-5舍去. 图2 图3提示3: 已知可求出可设则, 由可行域参考图3, 所求面积可行域由如下四个子区域拼接而成: 提示4：已知且当时, 恒有 当同理,当不等式组所围成的平面区域参考图4, 其面积为1. 图4 图5提示5: 由不等式组直接作出平面区域见图5, 注意直线过定点(0, 2). 由平面区域面积为4, 可知其中-3舍去.提示6：换元法平面区域, 可令再根据条件, 由此不等式组确定的平面区域即为确定的平面区域, 见图6, 其面积为 图6 图7提示7: 平面区域D见上图7阴影部分所示, 直线过定点(0, 1)根据平面几何知识可知, 若直线将区域D分成面积相等的两部分, 则直线只需过AB的中点即可. 易求中点坐标. 再代入到直线, 可求
