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1、数学奥林匹克初中训练题5第一试一、选择题(每题7分，共42分24220081.若方程x-3x+1=0的两根也是程x-px+q=0的根，则(p+q的个位数字是(.2.函数y=(此中，a、b为非零常数获得最大值的条件是(.22(Aa-4b0(Ba-4b02(Ca-4bBC，I是心里.现给出三条路线:IACBI;ICBAI;IBACI.若记它们的长度分别为l1、l2、l3，则此中最短的是(.(Al1(Bl2(Cl3(D不可以确立二、填空题(每题7分，共28分1.已知则z-y的值等于.2.如图，在四边形ABCD中，AB=10，BC=17，CD=13，DA=20，AC=21.则BD=.3.一个三位数xy
2、z(此中，x、y、z互不相等，将其各个数位的数字从头摆列，分别获得的最大数和最小数还是三位数.若所获得的最大三位数与最小三位数之差是本来的三位数，则这个三位数是.4.如图，在等腰RtABC(C=90内取一点P，且AP=AC=a，BP=CP=b(ab.则=.第二试一、(20分若向来角三角形两直角边的长a、b(ab均为整数，且知足.试求这个直角三角形的三边长.二、(25分如图4，已知O与ABC的边AB、AC分别相切于点P、Q，与ABC的外接圆相切于点T.设切点弦PQ的中点为I.求证:IT均分BTC.3333的个位数字是1，此中，x1，x2，x9是2三、(25分已知x1+x2+x89，-x91289
3、的值.2009中的九个不一样的数，且.求x00120028xx+x+x数学奥林匹克初中训练题5参照答案第一试一、1.C.2.C.注意到y=.(1若a2-4b0，则x2+ax+b=0有实根，此时，y无最大值;(2若a-4b0，则0综上，当a-4bBC，则abc.设AI=x，BI=y，CI=z(易知x，于是，l1=x+b+a+y=(b+y+(a+x;l2=z+a+c+x=(a+x+(c+z;l3=y+c+b+z=(b+y+(c+z.如图，延伸CA至点D，使得CD=a，联络ID.明显， ICDICB.则AD=a-b，ID=y.在AID中，有AI+ADID，即x+(a-by.所以，b+y同理，c+z所
4、以，c+z由此对l1、l2、l3作比较，可知l3的长度最短.二、1.2008.设z-y=t.从题设第一个方程得z-2x+y=0.于是，z-x=t/2，从而，x-y=t/2.故由题设第二个方程可求得t=z-y=2008.2.10.如图，作BEAC于点E，DFAC于点F，并作BGAC交DF的延伸线于点G，则四边形BEFG是矩形，BDG、ABE、CDF均为直角三角形.在ABC中，有p=(AB+BC+CA=24.故BE=8.同理，在ADC中，有DF=12.故DG=DF+FG=DF+BE=20.又AE=6，CF=5，则BG=EF=AC-AE-CF=10.所以，BD=10.3.495.设三位数xyz经过从
5、头摆列后所获得的最大三位数为(abc，则最小的三位数是.因为1a9，1b9，1c9，且-=(100a+10b+c-(100c+10b+a=99(a-c是99的倍数，故所求的三位数xyz也是99的倍数.而是99倍数的三位数只有8个:198，297，396，495，594，693，792，891.经考证知，只有495切合题意.4.由题设知，BPC与CAP互补.如图，延伸BP交AC于点K，则PC=PK=b，BK=2b.由PCKACP，知CK=b2/a.又BK2=BC2+CK2，所以，a4+b4=4a2b2.2222222222于是，(a+b=6ab，(a-b=2ab(ab.第二试一、因为a、b为正整数，所以，m也为正整数.从而，a、b是对于x的方程x2-(m+2x+4m=0的两个不等整数解.2所以，=m-12m+4必为完整平方数.不如设m2-12m+4=k2(k为正整数，即m2-12m+4-k2=0.2由此知对于m的方程应有整数解，则=4(32+k也必为完整平方数.于是，32+k2为完整平方数.令32+k2=(k+n2(n为正整数.则32=(k+n2-k2=n(2k+n.明显，n0时，为5-2a9;(2当5-2a9x1+x2+x8，所以，x9=2008.
