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1、高中数学1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积自主训练新人教B版必修21.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积自主广场我夯基 我达标1过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C. D.思路解析:设球的半径为R,过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为的圆,所以.答案：A2.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1 B.13 C.13 D.19思路解析:设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比
2、为13，选C.答案：C3.如图11-(6,7)-5，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_.图11-(6,7)-5思路解析:显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2.依题意可得正六棱锥PABCDEF的高为2，以此可求得侧面积为.答案：4.如图11-(6,7)-6，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_.图11-(6,7)-6思路解析:利用等体积法，易知，所以点B1到平面ABC1的距离为h=.答案：5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_.思路解析:如图，在OPA中，因为P
3、A=3,OA=,所以正四棱锥的高h=1,故正四棱锥的体积为V=Sh=.图11-(6,7)-7答案：6.一块长方体木料,长、宽、高分别为8厘米、4厘米、6厘米,把它切削成一个体积最大的圆柱体,求这个圆柱体的体积是多少？(取3.14)思路分析:根据此题提供的条件,削成圆柱体有三种情况,要按条件比较一下哪一种削法削成的圆柱体最大.解：(1)以长8厘米,宽4厘米的面为底,6厘米为高,圆柱的体积为V=()26=24(立方厘米).(2)以长8厘米,宽6厘米的面为底,4厘米为高,圆柱的体积为V=()24=36(立方厘米).(3)以长6厘米,宽4厘米的面为底,8厘米为高,圆柱的体积为V=()28=32(立方厘
4、米).通过比较,以长8厘米,宽6厘米的面为底,以4厘米为高,削出的圆柱体体积最大,Vmax=()24=36=113.04(立方厘米).7.在正四棱台内作一个内接棱锥，该棱锥以这个棱台的上底面正方形作底，以下底面正方形的中心作顶点.如果棱台上、下底面的边长分别为a和b，棱台和这个内接棱锥的侧面积相等，求这个内接棱锥的高，以及本题有解的限制条件.思路解析:可以根据侧面积相等建立方程,解方程或者根据方程判断解的情况即可得出结论.解：设内接棱锥的高为x,则棱锥的斜高h1=,棱台的斜高h2=.由棱台和内接棱锥的侧面积相等可得关于x的方程4a=4(a+b).解方程可得x=.答:这个内接棱锥的高为.当a,b
5、满足0abbc,如果一只蚂蚁从A点出发爬行到点C,那么它走过的最短路程是多少？图11-(6,7)-11思路分析:解决多面体表面两点的最短距离问题，通常要把多面体表面展开，从而转化为求平面两点间的距离问题，在展开表面时，要注意考虑是否可以有多种展开方式.本题中由于长方体的三条棱长不相等，所以有三种展开方式，把这三种情况的最后结果求出来，再比较他们的大小，就可得出最小值.解：将长方体表面沿棱展开，由于长方体的三条棱长不一样，因此展开有三种可能，如下图三个图形（1）、（2）、（3）中AC的长分别为： 图11-(6,7)-12;.abc0,abacbc0.最短路线的长为.蚂蚁从A点出发爬行到点C走过的最短路程为.1
