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1、锥曲线基础大题 20道一、解答题1. (1)已知椭圆C : 乂 +兰=l(a b 0)的焦距为2J3，准线方程为x二3朽,1 a 2 b 2求椭圆C勺方程；(2)已知双曲线C : 乂-兰二l(a 0,b 0)的一条渐近线方程为y二5x，且与2 a 2 b22椭圆X2 +等=1有公共焦点，求双曲线口的方程.1232x2 y 22. 已知椭圆一+ = 1，一组平行直线的斜率是1.49(1) 这组直线何时与椭圆有公共点？(2) 当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程.3. 过原点 O 作圆 x2+y2-8x=0 的弦 OA.(1) 求弦OA中点M的轨迹方程；(2) 延长O
2、A到N,使IOAI=IANI,求N点的轨迹方程.4. 已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x=-2相切(1) 求动圆圆心P的轨迹M的方程；(2) 经过点(2,0)且倾斜角等于135。的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求IABI5. 已知抛物线C: y2二2px(p 0)的焦点为F，点P(1,2)在抛物线C上.(1) 求点F的坐标和抛物线C的准线方程；(2) 过点F的直线/与抛物线C交于A,B两个不同点，若AB的中点为M(3,-2)，求OAB 的面积.6. 已知双曲线C: - - = 1(a 0,b 0)与双曲线丄-=1有相同的渐近线，且经过a 2 b242点M(辽-、.(1) 求双曲线C的方
3、程；(2) 求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.7焦点在x轴上的椭圆的方程为罕+兰=1，点P心2,1)在椭圆上.4 m(1) 求m的值.(2) 依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.8求适合下列条件的椭圆标准方程：x23(1) 与椭圆兰+ y2 = 1有相同的焦点，且经过点(匕亍)22(2) 经过 A(2, ),B(-h,-23)两点9如图，若F F2是双曲线羊-鸽二1的两个焦点.1 2916(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16 ,求点M到另一个焦点的距离;若P是双曲线左支上的点，且PF1PF2 = 32，试求pF2的面积.10已知条件P :空间向量a =
4、(1,0,n), b = (-1,1,1)，满足a b 0 ;条件q :方程x2y 2-=1表示焦点在x轴上的双曲线.n - k 2 (1) 求使条件p成立的n的取值范围；(2) 若p成立是9成立的充分条件，求实数k的取值范围.11 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0 )，并且经过点，-2 V22( 1 )求椭圆的标准方程；(2)若直线y = x +1与椭圆交于A B两点，求AB中点的坐标和AB长度.12.已知双曲线二一=1的离心率为e =2，且经过点P(2,-*3)a 2 b 21)求双曲线的方程；2)求双曲线的焦点到渐近线的距离x2y 213 已知椭圆一+ Ja2b2=1(
5、a b )的离心率为孕且经过点卜，F1，F2 是椭圆的左右焦点.(1)求椭圆C的方程；点p在椭圆上，且|pfi|-|pfJ=2，求pf- p=的值.x214.已知双曲线C :y2 = 1.2(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(22)的双曲线的标准方程;(2)若直线1与双曲线C交于A、B两点，且A、B的中点坐标为(1，1)，求直线1的 斜率.15已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1) 求双曲线C的标准方程；(2) 若直线1: y = kx +2与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围.x2 y 2216已知椭圆C :+ = 1(a b 0)的长轴长为6,离心
6、率为汗.a2 b23(1) 求椭圆C的方程；(2) 直线y = x + m与椭圆C交于A，B两点，求IABI的最大值.17已知椭圆0 : - +琴=1(a b 0)的焦距为4,短半轴长为2. a2 b2(1) 求椭圆0的方程；(2) 若直线1与椭圆0相交于A，B两点，点P(-2，1)是线段AB的中点，求直线1的 方程.18.已知双曲线C的中心是原点，右焦点为FG3,0),，一条渐近线方程为x +迈y = 0，直线1: x - y +、打=0与双曲线交于点A，B两点.记FA，FB的斜率分别为件，佇(1) 求双曲线C的方程；11(2) 求匸+匸的值.1219设椭圆C :+= 1(a b 0)的左、
7、右焦点分别为F， F2，下顶点为A， O为a2 b212坐标原点，O到直线AF的距离为工3 , AFF为等边三角形.2 2 1 2(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若倾斜角为60的直线经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于M，N两点(M 点在N点的上方)求线段MF 2与NF,的长度之比.2220.已知抛物线C： y2=2px(p0)的焦点为F,点M(2, m)为其上一点，且IMFI=4.(1) 求p与m的值；(2) 如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积.参考答案x2 y 21, (1) V+_6= ； (2x2y 2=145分析】(1)由已知可得c = ；3，
8、a = 3J3，列出方程求解即可得出结果；c(2)由已知可得-=5 , c2 = 9，计算即可得出结果. a2详解】(1)焦距为2、污，则c = 0即可知直线截距在一审13, J13上有交点；(2)结合(1)由中点坐标可得（-1b ,1b）而其中必有原点即可求直线方程；详解】（i）设平行直线的方程为y二x+b，若直线与椭圆有公共点，则:x2 y 2将 y 二 x + b代入一 + 二=1，整理得：13x2 + 8bx + 4b2 36二0，49. A 二 64b2 - 208（b2 - 9） 0 解得：- b 13 ；（2）令交点坐标分别为（現，y（x2,y丿，由（i）知：x + x =-8b
9、，而1 1 2 2 1 2 1318by + y 二 x + x + 2b =1 2 1 2 134b 9b9所以线段中点坐标为（-J3,13），其中必有一个中点为坐标原点，故直线的斜率为k = -4，所在的直线方程：9x + 4y二0 ；【点睛】 本题考查了直线与椭圆的位置关系，计算确定何时它们会有公共点，以及求交点弦的中点所 构成直线的方程.3. （1）x2+y2-4x=0; （2）x2+y2-16x=0【解析】试题分析：（1）设M点坐标为（x, y）,那么A点坐标是（2x, 2y），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，所以，（2x） 2+ （2y） 2-16x=0，化简得 M 点轨
10、迹方程为 x2+y2-4x=0.xy（2）设N点坐标为（x, y），那么A点坐标是（，），A 点坐标满足圆 x2+y2-8x=0 的方程，xy得到：（2 ） 2+ （亍）2-4x=0，N 点轨迹方程为： x2+y2-16x=0.考点：轨迹方程点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解.4. （1） y2 二 8x （2） 16【分析】(1)设P(x, y)，根据题目条件列方程可求得结果；( 2 )联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得结果.【详解】(1) 设 P(x, y),则依题意可得 ：(x 2)2 + y2 =| x (2)1,化简得y2二8x，所以动圆圆心P的
11、轨迹M的方程为y2二8x(2) 直线i的方程为y = 一(x-2)，即y = x+2， y 一 x + 2联立1 2 q ，消去y并整理得x2 12x + 4 0， y2 8 x设 A(x , y )，B(x , y )，1 1 2 2则 x + x 12 ， x x 4 ，1 2 1 2由弦长公式可得I AB I- (1 + (l)2(% + x?)2 4%x? - J2 X 122 16 16.所以| AB |16【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理和弦长公式，属于基础题.5( 1) (1,0 ) ，x 1 ；(2)2辽【分析】(1) 因为P(1
12、,2)在抛物线C上，可得P 2，由抛物线的性质即可求出结果；(2) 由抛物线的定义可知|AB| x1 + x2 + 2 6，根据点斜式可求直线AB的方程为y x+1 ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.【详解】(1)V P(1，2)在抛物线 C上， 4 2p P 2，点F的坐标为(1,0 )，抛物线C的准线方程为x 1 ；12（2）设A，B 的坐标分别为（x，y），x ,y），则 AB = x + x + 2 = 8,11 2 2 1 2，/kMF=-1，直线 AB 的方程为 y = X +1点o到直线AB的距离d二+ = ，1 _S= AB -d = 2忑OAB 2【点睛】 本题主要
13、考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.6. （1） x2 -斗=1 ； （2）实轴长2,离心率为J3，距离为迈分析】1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；2）由双曲线方程及点到直线的距离求解即可.详解】解：（1）解：在双曲线 4 2 = 1 中，a = 2， b = i 2 ,则渐近线方程为y = X = 1：2x , b，x2 y 2y 2x2双曲线c:-右=1与双曲线冷-乙=1有相同的渐近线,x2y 2方程可化为-=a 22a 2又双曲线C经过点M（迈,-、尬，代入方程,Z = 1，解得 a = 1，b =迈,a 22a 2双曲线c的方程为x2 -与=1.解；由知双曲线C:x 2 -与=1中,a = 1, b = 2
