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1、一元二次方程复习一） 一元二次方程的定义是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。这三个方程都是一元二次方程。求根公式为二）。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、当0时方程有2个不相等的实数根；2、当0时方程有两个相等的实数根；3、当 0时方程无实数根.4、当0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac0)0有两个不相等的实数根C0两根同号b0有两个负根不相等b0有两个正根不相等C0负根绝对值较大(正根绝对值较小)b0一根为0另一个根为负根b0有两个相等的负根
2、b01有两个不相等的负实数根 x1.x20 x1+x202有两个不相等的正实数根 x1.x20 x1+x20 03负根的绝对值大于正根的绝对值 x1.x2 0 x1+x204两个异号根正的绝对值较大 x1.x20 05两根异号，但绝对值相等 x1.x206一个负根，一个零根 x1.x2 0 x1+x20 x1+x20 08有两个相等的负根 x1.x20 x1+x20 x1+x20010有两个相的等的根都为零 x1.x20x1+x20011两根互为倒数 x1.x21 12两根互为相反数 0 x1+x2013两根异号 0 14两根同号 0 x1.x2015有一根为零 0 16有一根为1 0 x1.
3、x20 a+b+c=0 17有一根为-1 0 a-b+c=018无实数根 0 20 ax2+bx+c (a0)这个二次三项式是完全平方式 021方程ax2+bx+c 0 (a0)（a、b、c都是有理数）的根为有理根，则是一个完全平方式。22方程ax2+bx+c 0 (a0)的两根之差的绝对值为：23 0,方程ax2+bx+c 0 (a0)有相等的两个实数根。24 0, 方程ax2+bx+c 0 (a0)无实数根.25方程ax2+bx+c 0 (a0)一定有一根为“1” 0 a+b+c=026方程ax2+bx+c 0 (a0)的解为27方程ax2+bx+c 0 (a0)若0则 注：凡是题中出现了
4、x1.x201例题 m为何值时，方程 有两个相等的实数根；无实数根；有两个不相等的实数根；有一根为0；两根同号；有一个正根一个负根；两根互为倒数。2例题k为何值时关于x的方程(m为有理数)的根为有理数。3例题不论m为何值时都可以分解成二个一次因式的积4例题 已知方程的两根一个大于1，另一个根小于1，求m的值的范围。5例题已知方程ax2+bx+c 0 (a0)的实数根为m、n求下列对称式子的值；。6例题已知实数a、b满足,且求的值。7例题已知 其中p、q为实数。求的值。8用配方法求下面关于x的一元二次方程ax2+bx+c 0 (a0)9已知是一个完全平方式，若a0试证明：方程无实数解。10已知关
5、于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围。（2）化简11、求非对称性式子的值（解题思想是逐次降次）例1已知例2设a、b是方程的两个实数根，求的值。12用适当的方法解下列方程(说明选用的理由） 六）“归旧”思想在解一元二次方程中的应用 “归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n）2=p (m0,p0)的方程。我们可以利用平方根的定义“
6、归旧”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=，分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根。用简明图表可表示为：直接开平方法：形如（mx+n）2=p (m0,p0)两个一元一次方程。配方法：最适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（当然一般的形如ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定是最合适的方法）。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“归旧”为上述形如（mx+n）2=p (m0,p0) 的方程，然后再用直接开平方法的方法求解。用简明图表可表示为：配方法：一元二次方程 形如（mx+n）2=p (m0,p0)的方程因式
7、分解法：这种方法平时用的最多，最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0方程，从而“归旧”为a1x+c1=0 、a2x+c2=0 ，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解。用简明图表可表示为： 因式分解法：一元二次方程两个一元一次方程 公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单。但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。由此可见以上四种解法都是运用了归旧的数学思想，把新东西转换成熟悉的旧的东西 去解决。归旧思想在初中数学中还有许多运用：如解二元一次方程归旧为一元一次方程，分式方程归旧为整式方程，二元二次方程组归旧为二元一次方程组或代入消元归旧为一元二次方程，平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线归旧为三角形问题等，由此可见熟练掌握归旧数学思想，对增强解题能力，改善知识结构，提高数学素养大有裨益。1
