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1、谈函数与方程(零点问题)的解题方法课题解题技术篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热门，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上主要考察转变与化归、数形联合及函数与方程的思想(1) 函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0建立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2) 零点存在性定理(函数零点的判断)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，而且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)起码有一个零点，即相应方程f(x)0在区间(a，b)内起码有一个实数解也能够说：假如函数yf(x)在区间a，b上的
2、图象是连续不停的一条曲线，而且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根提示此定理只好判断出零点存在，不可以确立零点的个数(3) 几个等价关系函数yf(x)有零点?方程f(x)0有实数根?函数yf(x)的图象与函数y0(即x轴)有交点推行：函数yf(x)g(x)有零点?方程f(x)g(x)0有实数根?函数yf(x)g(x)的图象与y0(即x 轴)有交点推行的变形：函数yf(x)g(x)有零点?方程f(x)g(x)有实数根?函数yf(x)的图象与yg(x)有交点1函数的零点是函数yf(x)与x轴的交点吗？
3、能否随意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并不是随意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点2若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，必定有f(a)f(b)03若函数yf(x)在区间(a，b)内，有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210对于往后的考试中仍以考察函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转变为主要考点，波及题目的主要考向有：1函数零
4、点的求解与所在区间的判断；2判断函数零点个数；3利用函数的零点求解参数及取值范围考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1(2015州十校联考温)设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)【分析】法一：f(1)ln11210，f(2)ln20，f(1)f(2)0，函数f(x)lnxx2的图象是连续的，函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)法二：函数f(x)的零点所在的区间转变为函数g(x)lnx，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围，以下图，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)【答案】B1的图象交点的横坐标所在区间为()2(
5、2015西安五校联考)函数yln(x1)与yxA(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)【分析】函数yln(x1)与y11的零点，f(x)在(0，x的图象交点的横坐标，即为函数f(x)ln(x1)x21)上为增函数，且f(1)ln210，f(2)ln320，f(x)的零点所在区间为(1，2)【答案】B3函数f(x)3x7lnx的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_【分析】求函数f(x)3x7lnx的零点，能够大概估量两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln2，因为ln2lne1，所以f(2)0，f(3)2ln3，因为ln31，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)
6、内，故n2【答案】24(2015长沙模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内【分析】此题考察零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，所以由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内【答案】A5(2014考湖北卷高)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的会合为()A1，3B3，1，1，3C27
7、，1，3D27，1，3【分析】令x0，则x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)x23x求函数g(x)f(x)x3的零点等价于求方程f(x)3x的解当x0时，x23x3x，解得x13，x21；当x0时， x23x3x，解得x327【答案】D确立函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看解得的根能否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：第一看函数yf(x)在区间a，b上的图象能否连续，再看能否有f(a)f(b)0如有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形联合法：经过画函数图象，察看图象与x轴在给定区间上能否有交点来判断61
8、已知函数f(x)xlog2x，在以下区间中，包括f(x)零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4)D(4，)3【分析】因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)3log2410，所以函数f(x)的22零点所在区间为(2，4)【答案】C2方程log3xx3的根所在的区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)【分析】法一：方程log3xx3的根即是函数f(x)log3xx3的零点，因为f(2)log3223log32 10且函数f(x)在(0，)上为单一增函数函数f(x)的零点即方程log3xx3的根所在区间为(2，3)法二：方程log3xx3的根所
9、在区间即是函数y1log3x与y23x交点横坐标所在区间，两函数图象以下图由图知方程log3xx3的根所在区间为(2，3)【答案】Ca1a2a3的两个零点3(2015武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，123，则函数f(x)123xxx分别位于区间()A(，1)和(1，2)内B(1，2)和(2，3)内C(，)和(，)内D(，)和(，)内23313【分析】此题考察函数与方程利用零点存在定理求解当x(1，2)时，函数图象连续，且x，1f(x)，x2，f(x)，所以函数f(x)在(1，2)上必定存在零点；同应当x(2，3)时，函数图象连续，且x2，f(x)，x3，f(x)，所以函数f(x)在(2，
10、3)上必定存在零点，应选B【答案】B考向二、判断函数零点个数x2，x0，g(x)f(x)x的1已知函数f(x)知足f(0)1，且f(0)2f(1)0，那么函数x2bxc，x0零点个数为_【分析】f(0)1，c1，又f(0)2f(1)0，f(1)1b1112，b2当x0时，4g(x)2x20有独一解x1；当x0时，g(x)x23x1，令g(x)0得x1或x2(舍去)，22综上可知，g(x)f(x)x有2个零点【答案】22(2013高考天津卷)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4x1x【分析】由f(x)2|log0.5x|10，可得|log05x|2设g(x)|log0.5x|，h(x)1xg(x)，h(x)的图象，能够发现两个函数图2，在同一坐标系下分别画出函数象必定有2个交点，所以函数f(x)有2个零点【答案】B3(2015考天津卷高)已知函数2|x|，x2，函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)f(x)x22，x2，的零点个数为()A2B3C4D5【分析】分别画出函数f(x)，g(x)的草图，察看发现有2个交点【答案】A4若定义在R上的偶函数f(x)知
