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1、石家庄财经职业学院经济数学课 次1/2授课日期9.26-9.30编号02基本课题极限的定义教学目的知道极限的描述性定义；熟练掌握求简单函数的极限；熟练掌握极限存在的充要条件；理解无穷小与无穷大定义，理解无穷小与无穷大的关系。重 点函数极限的定义；极限存在的充要条件；无穷小的定义难 点极限存在的充要条件；无穷小与无穷大的关系课 型新授课学 时2教 学 过 程时间分配教学方法能力培养一、函数的极限 1. 自变量趋于无穷的情形定义1 例题 求定义2 例题 求定义3 定理1 2.自变量趋于有限值的情形 定义4 注意： 例题定义5 定义6 定理2 例题 练习：45min引导，讲授在极限教学中,引导学生从
2、数学角度认真分析极限定义中变量的变化特征与内在联系 ，辩证剖析变与不变、具体与抽象、有限与无限、近似与精确等对立统一规律,使学生认识和理解极限思想,培养学生科学的辩证思维和世界观。二、无穷小量1. 无穷小量的定义定义1 注：2无穷小的运算性质性质1 性质2 例1 练习 求性质3 三、无穷大量 1. 无穷大量的定义 定义2 注意：2. 无穷大与无穷小的关系定理2 45min讲授让学生充分体会比较无穷小在实际生活中和数学中的不同含义，培养学生的思维发散能力。作 业：习题2-2 1.2.3课后记：【教学过程】:一、函数的极限 1. 自变量趋于无穷的情形自变量趋于无穷可分为趋于正无穷和负无穷，先讨论当
3、时，函数的极限。定义1 设函数为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于正无穷”）时函数的极限，记作或 例题 求由图像可知，当趋于正无穷时，趋于零，故0定义2 设函数(为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大且时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于负无穷”）时函数的极限，记作或 例题 求 由图像可知，当趋于负无穷时，趋于零，故0 定义3 设函数在 为某个正实数)时有定义，如果当自变量的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于无穷”）时函数的极限记作或由上述两个例题可知，同
4、理可证，定理1当时，函数的极限存在的充分必要条件是当时和时函数的极限都存在而且相等。即的充分必要条件是 2.自变量趋于有限值的情形2O1 引例 对于函数，如图 当时, 的值无限趋近于常数2，此时我们称当趋近于1时，函数的极限为2 定义4设函数在点的去心邻域内有定义，如果当自变量在内无限接近于时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为当（读作“趋近于”）时函数的极限，记作或 注意：1.在时的极限是否存在,与在点处有无定义以及在点处的函数值无关2.在定义5中, 是以任意方式趋近于的,但在有些问题中，往往只需要考虑点从的一侧趋近于时，函数的变化趋向 例题 求由函数图像可知,无论从哪一侧趋近于
5、3时,函数值总是无限接近于9,故定义5 设函数在点的左半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从左侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的左极限,记作或定义6 设函数的右半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从右侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的右极限,记作或函数的左右极限有如下关系:定理2 的充分必要条件是例题 设函数,求在处的左、右极限,并讨论在处是否有极限存在.解: 因为当时, ,因此,又当时, ,因此由定理2可知， 不存在。练习：判断函数在处是否有极限。二、无穷小量1. 无穷小量的定义定义1 以零为极限的变
6、量称为无穷小量，简称无穷小，常用表示。例如 ，所以函数当时是无穷小又如 ，所以函数当 时是无穷小。注意：应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。例如 函数是时的无穷小，但当时不是无穷小。当时，的极限不为零，所以当时，函数不是无穷小，而当时是无穷小量。2. 极限与无穷小之间的关系定理1 的充要条件是，其中是无穷小，即. 3. 无穷小量的运算性质 性质1 有限个无穷小的代数和是无穷小。注意：.此处是指有限个无穷小的代数和是无穷小,但无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.例如:.代数和是指和与差两种运算. 性质2 无穷小与有界函数的积是无穷小
7、. 例1 求分析: 当是, 是无穷小, 是有界函数,故根据性质2可知,此极限值为0.解: 因为,故由性质2可得练习 求推论1 常数与无穷小的积是无穷小.例: 当是, 均是无穷小.推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小.三、无穷大量 1. 无穷大量的定义 定义2 在自变量的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值无限增大,则称为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大记作若函数值(或)无限增大,则称为该变化过程中的正(或负)无穷大,记作.注意：无穷大量不是很大的数,而是一个变量,是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号，表示“当时, 是无穷大量” 2. 无穷大与无穷小的关系定理2 在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量例2 求解: 由于,由定理2可知注意:以后遇到类似题目,可直接写结果.例3 考察函数,自变量如何变化时是无穷大量?如何变化时是无穷小量?解: 因为,故当时,此函数为无穷小量. 因为,故,所以当时,此函数为无穷大量.
